MATLAB代数

到本节为止，我们已经看到，所有的例子 MATLAB 方式工作以及GNU（或者称为Octave）。但是在解决基本的代数方程的问题上，MATLAB 和 Octave 有点差别，因此对于 MATLAB 和 octave 会单独分开介绍。

对于因式分解以及简化代数表达式，我们也会进行接触。

在MATLAB解决基本的代数方程组

MATLAB 中使用 solve 命令求解代数方程组。在其最简单的形式，solve 函数需要括在引号作为参数方程。

例如，让我们在方程求解 x， x-5 = 0

solve('x-5=0')

MATLAB执行上述语句，返回下述结果：

ans =
 5

还可以调用求解函数为：

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB执行上述语句，返回以下结果：

y =
 5

甚至可能不包括的右边的方程：

solve('x-5')

MATLAB执行上述语句，返回以下结果：

ans =
 5

然而，如果公式涉及多个符号，那么MATLAB默认情况下，假定正在解决 x，解决命令具有另一种形式：

solve(equation, variable)

在那里，还可以提到的变量。

例如，让我们来解决方程 v – u – 3t² = 0, 或 v 在这种情况下，我们应该这样写：

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB执行上述语句，返回以下结果：

ans =
 3*t^2 + u

MATLAB解决基本在Octave中代数方程组

根命令用于求解代数方程组 Octave ，可以写上面的例子如下：

例如，让我们在方程求解x ， x-5 = 0

roots([1, -5])

Octave 执行上述语句，返回以下结果：

ans =
 5

还可以调用求解函数为：

y = roots([1, -5])

Octave 执行上述语句，返回以下结果：

y =
 5

在MATLAB解决二次方程

solve 命令也可以解决高阶方程。它经常被用来求解二次方程，该函数返回在数组中的方程的根。

下面举例子解决二次方程 x² -7x +12 = 0。

在MATLAB中建立一个脚本文件，并输入下述代码：

s = solve(x^2 -7*x + 12 == 0);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

运行该文件，显示以下结果：

The first root is: 
3
The second root is: 
4

Octave二次方程求解

下面的例子解决二次方程 x² -7x +12 = 0 在 Octave 中。创建立一个脚本文件，并输入下述代码：

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

运行该文件，显示以下结果：

The first root is: 
 4
The second root is: 
 3

在MATLAB解高阶方程

solve 命令还可以解决高阶方程。例如，让我们来解决一个三次方程 (x-3)²(x-7) = 0

solve([(x-3)^2*(x-7)=0])

MATLAB执行上述语句，返回以下结果：

ans =
  3
  3
  7

在高阶方程的情况下，根长含有许多术语。可以得到的数值如根，把它们转换成一倍。

下面的例子解决了四阶方程 x⁴ − 7x³ + 3x² − 5x + 9 = 0.

在MATLAB中建立一个脚本文件，并输入下述代码：

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

运行该文件，返回以下结果：

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
    6.6304
Numeric value of second root
    1.0598
Numeric value of third root
  -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
  -0.3451 + 1.0778i

请注意，在过去的两个根是复数。

在 Octave求解高阶方程

下面的例子解决了四阶方程 x⁴ − 7x³ + 3x² − 5x + 9 = 0.

建立一个脚本文件，并输入下述代码：

v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

运行该文件，返回以下结果：

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

在MATLAB中求解方程组

solve 命令也可以用于生成涉及一个以上的变量的方程系统的解决方案。

我们求解方程：

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

在MATLAB中建立一个脚本文件，并输入下述代码：

s = solve([5*x + 9*y = 5],[3*x - 6*y = 4]);
s.x
s.y

运行该文件，显示以下结果：

ans =
 22/19
ans =
-5/57

用同样的方法，可以解决大型线性系统。

请考虑以下的方程组：

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

Octave方程求解系统

我们有一点点不同的方法来解决系统 'n' 的 'n' 未知数的线性方程组。

让我们求解方程：

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

这样的系统中的线性方程组的单一的矩阵方程可写为 Ax = b, 其中 A 是系数矩阵，b 是含有线性方程组右侧的列向量，x 是列向量，代表在下面的程序中所示

创建一个脚本文件，并键入下面的代码：

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A  b

运行该文件，显示以下结果：

ans =

   1.157895
  -0.087719

用同样的方法，可以解决大型线性系统给出如下：

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

MATLAB扩大和收集方程

MATLAB中 expand 和 collect 命令用于扩展，并分别收集一个方程。下面的示例演示的概念：

当工作中有许多象征性的函数，你应当声明你的变量是象征意义的。

在MATLAB中建立一个脚本文件，并输入下述代码：

syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

运行该文件，显示以下结果：

ans =
 x^2 + 4*x - 45
 ans =
 x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
 ans =
 2*cos(x)*sin(x)
 ans =
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
 ans =
 x^4 - 7*x^3
 ans =
 x^6 - 8*x^5 + 15*x^4 

Octave扩展和收集方程 

你需要 symbolic 包，它提供了expand 和 collect 命令来扩大和收集方程。下面的示例演示的概念：

当工作中有许多象征意义的函数，应该声明变量是象征性的，但八度有不同的方法来定义符号变量。注意使用 sin 和 cos，他们还象征意义性的包中定义。

建立一个脚本文件，并输入下述代码：

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

当运行该文件，它会显示以下结果：

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

分解和简化代数表达式

factor 命令表达式 factorizes 是一个简化命令的简化表达。

具体例子

建立一个脚本文件，并输入下述代码：

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

运行该文件，显示以下结果：

ans =
(x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
 ans =
 [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
 ans =
 x^2 + 4