无穷级数
(sum_{i=1}^∞u_i=u_1 u_2 ... u_n ...)
无穷级数就是无限项数列的加和。相比于无限项，也有有限项的级数，就是无穷级数的前n项
(S_n=sum_{i=1}^nu_i)
无穷级数如果最终结果为∞，那么我们就说该无穷级数为发散的；无穷级数如果最终结果为一个数A，那么我们就说该无穷级数为收敛的。它等价于
(lim_{n->∞}Sn=A)
为收敛，反之发散。
几个特殊级数
- 等比级数
(sum_{n=1}^∞aq^{n-1}) (a>0)
当公比的绝对值|q|<1时，该级数为收敛的，如
(1 {1over 2} {1over 4} {1over 8} ... {1over 2^n} ...=2)
当|q|>1时，该级数为发散的，如
(1 2 4 8 ... 2^n ...=∞)
- P级数
(sum_{n=1}^∞{1over n^P})
当P≤1时，为发散的
当P>1时，为收敛的
当P=1的时候，(sum_{n=1}^∞{1over n}=∞)
这是两个非常重要的级数。
正项级数判敛法
正项级数有如下性质：
- 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和是有界数列；
- 正项级数如果收敛收敛值是{(S_n)}的上确界；
- 正项级数如果发散一定发散到正无穷;
- 对于收敛的正项级数，任意调换求和顺序后得到的新级数也收敛，并且和不变；
- 比较法
1、一般形式：若
(b_n≥a_n≥0)
则
- (sum_{n=1}^∞a_n)发散，那么(sum_{n=1}^∞b_n)也发散
- (sum_{n=1}^∞b_n)收敛，那么(sum_{n=1}^∞a_n)也收敛
示例1：(sum_{n=1}^∞{(sqrt{2} (-1)^n)^nover 3^n})
({(sqrt{2} (-1)^n)^nover 3^n}=({sqrt{2} (-1)^nover 3})^n)为一个正项级数
该数列并不是一个等比数列，但是我们发现
(({sqrt{2} (-1)^nover 3})^n≤({sqrt{2} 1over 3})^n)
由于(({sqrt{2} 1over 3})^n)是一个等比数列，其公比({sqrt{2} 1over 3}<1)为收敛的，故
(sum_{n=1}^∞{(sqrt{2} (-1)^n)^nover 3^n})为收敛的。
2、极限形式：
(sum_{n=1}^∞a_n)与(sum_{n=1}^∞b_n)均为正项级数
(lim_{n->∞}{a_nover b_n}=C>0)
则二者同敛散
证明：对于(lim_{n->∞}{a_nover b_n}=C)，我们知道对于任意ε>0，都存在一正整数N，使得n>N时有(|{a_nover b_n}-C|<ε)，等价于
(-ε<{a_nover b_n}-C<ε)
(C-ε<{a_nover b_n}<C ε)
((C-ε)b_n<a_n<(C ε)b_n)
由于C>0，我们可以让ε足够小，使得C-ε>0，因此
(b_n<{a_nover C-ε})
根据比较法，如果(sum_{n=1}^∞a_n)收敛，则(sum_{n=1}^∞b_n)同样收敛；
又有
(a_n<(C ε)b_n)
则如果(sum_{n=1}^∞b_n)收敛，(sum_{n=1}^∞a_n)同样收敛。
示例2：(sum_{n=1}^∞{1over sqrt{n^3-n 1}})
由于({1over sqrt{n^3-n 1}}～{1over sqrt{n^3}}={1over n^{3over 2}})同阶无穷小(关于无穷小的内容可以参考高等数学整理 中的函数连续性)
则有(lim_{n->∞}{n^{3over 2}over sqrt{n^3-n 1}}=1)
由于(sum_{n=1}^∞{1over n^{3over 2}})收敛，故原级数(sum_{n=1}^∞{1over sqrt{n^3-n 1}})同样收敛。
示例3：(sum_{n=2}^∞ln(1 {2over n}))
因为(ln(1 {2over n})～{2over n})
由于(sum_{n=2}^∞{2over n})是发散的，故原级数(sum_{n=2}^∞ln(1 {2over n}))是发散的。
