车辆运动学方程推导和代码实现

1.运动学方程

自行车模型（Bicycle Model）是车辆数字化模型中最常见的一种运动学模型。其除了可以反映车辆的一些基础特性外，更重要的是简单易用。通常情况下我们会把车辆模型简化为二自由度的自行车模型。

自行车模型主要基于以下假设：

车辆是在一个二维平面上运动，不考虑车辆垂直平面的（Z轴）方向上的移动。
车辆左右两个轮胎的运动可以合并为一个轮胎来描述，即假设车辆左右轮胎在任意时刻都拥有相同（或者近乎相同）的转向角度和速度。
车辆处于低速运动，可以忽略前后轴载荷的偏移。
车辆整体是刚体结构。

一般情况下，我们可以将车辆运动学模型简化为如下形式：

delta_f

：前轮转角

delta_r

：后轮转角

beta

：质心侧偏角，即质心速度与车身坐标系

轴的夹角

varphi

：横摆角，即车的轴线与

轴的夹角

beta varphi

：航向角

：质心速度

：速度瞬心

：质心

L_f

：质心

到前轴距离

L_r

：质心

到后轴距离

：轴距，

L=L_f L_r

我们对质心速度

进行矢量分解，如上图中的

dot{X}

和

dot{Y}

所示，可以得到下式和

(2)

，根据理论力学刚体角速度公式可得公式

(3)

。由此得到单车模型下的车辆运动学微分模型为

dot{X} = vcos(beta varphi) tag{1}

dot{Y} = vsin(beta varphi) tag{2}

dot{varphi} = frac{v}{R} tag{3}

注：一个刚体的角速度 = 线速度/线速度到速度瞬心的距离

根据图中几何关系和正弦定理可知：

frac{L_f}{sin(delta_f - beta)} = frac{R}{sin(frac{pi}{2} - delta_f)} tag{4}

frac{L_r}{sin(delta_r beta)} = frac{R}{sin(frac{pi}{2} - delta_r)} tag{5}

由上式展开可得

frac{L_f}{R} = frac{sindelta_f cosbeta - cosdelta_f sinbeta}{cosdelta_f} = tandelta_fcosbeta - sinbetatag{6}

frac{L_r}{R} = frac{sindelta_r cosbeta cosdelta_r sinbeta}{cosdelta_r} = tandelta_rcosbeta sinbeta tag{7}

由载荷的影响，质心

位置会发生变化，导致

L_f

和

L_r

的长度发生变化，但是由于

L = l_f L_r

是不变的，因此由式子

(6)(7)

可得

frac{L_f L_r}{R} = frac{L}{R} = (tandelta_f tandelta_r)cosbeta tag{8}

由

(3)

和

(8)

可得

dot{varphi} = frac{v}{R} =frac{v(tandelta_f tandelta_r)cosbeta}{L} tag{9}

由于低速条件下，我们可以假设车辆不会发生侧向滑动（漂移），此时我们可以将

v_y approx 0

，因此

beta approx 0

，则横摆角

varphi

约等于航向角

varphi beta

。又由于大部分车辆不具备后轮转向的功能，因此我们可以假设后轮转角

delta_rapprox0

，因此基于我们假设的前提下的运动学微分方程化简为

dot{X} = vcosvarphi \ dot{Y} = vsinvarphi tag{10} \ dot{varphi} = frac{vtandelta_f}{L}

2.模型实现

python代码如下：

代码语言：javascript复制

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

import math
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from celluloid import Camera


class Vehicle:
    def __init__(self,
                 x=0.0,
                 y=0.0,
                 yaw=0.0,
                 v=0.0,
                 dt=0.1,
                 l=3.0):
        self.steer = 0
        self.x = x
        self.y = y
        self.yaw = yaw
        self.v = v
        self.dt = dt
        self.L = l  # 轴距
        self.x_front = x   l * math.cos(yaw)
        self.y_front = y   l * math.sin(yaw)

    def update(self, a, delta, max_steer=np.pi):
        delta = np.clip(delta, -max_steer, max_steer)
        self.steer = delta

        self.x = self.x   self.v * math.cos(self.yaw) * self.dt
        self.y = self.y   self.v * math.sin(self.yaw) * self.dt
        self.yaw = self.yaw   self.v / self.L * math.tan(delta) * self.dt

        self.v = self.v   a * self.dt
        self.x_front = self.x   self.L * math.cos(self.yaw)
        self.y_front = self.y   self.L * math.sin(self.yaw)


class VehicleInfo:
    # Vehicle parameter
    L = 3.0  #轴距
    W = 2.0  #宽度
    LF = 3.8  #后轴中心到车头距离
    LB = 0.8  #后轴中心到车尾距离
    MAX_STEER = 0.6  # 最大前轮转角
    TR = 0.5  # 轮子半径
    TW = 0.5  # 轮子宽度
    WD = W  #轮距
    LENGTH = LB   LF  # 车辆长度

def draw_trailer(x, y, yaw, steer, ax, vehicle_info=VehicleInfo, color='black'):
    vehicle_outline = np.array(
        [[-vehicle_info.LB, vehicle_info.LF, vehicle_info.LF, -vehicle_info.LB, -vehicle_info.LB],
         [vehicle_info.W / 2, vehicle_info.W / 2, -vehicle_info.W / 2, -vehicle_info.W / 2, vehicle_info.W / 2]])

    wheel = np.array([[-vehicle_info.TR, vehicle_info.TR, vehicle_info.TR, -vehicle_info.TR, -vehicle_info.TR],
                      [vehicle_info.TW / 2, vehicle_info.TW / 2, -vehicle_info.TW / 2, -vehicle_info.TW / 2, vehicle_info.TW / 2]])

    rr_wheel = wheel.copy() #右后轮
    rl_wheel = wheel.copy() #左后轮
    fr_wheel = wheel.copy() #右前轮
    fl_wheel = wheel.copy() #左前轮
    rr_wheel[1,:]  = vehicle_info.WD/2
    rl_wheel[1,:] -= vehicle_info.WD/2

    #方向盘旋转
    rot1 = np.array([[np.cos(steer), -np.sin(steer)],
                     [np.sin(steer), np.cos(steer)]])
    #yaw旋转矩阵
    rot2 = np.array([[np.cos(yaw), -np.sin(yaw)],
                     [np.sin(yaw), np.cos(yaw)]])
    fr_wheel = np.dot(rot1, fr_wheel)
    fl_wheel = np.dot(rot1, fl_wheel)
    fr_wheel  = np.array([[vehicle_info.L], [-vehicle_info.WD / 2]])
    fl_wheel  = np.array([[vehicle_info.L], [vehicle_info.WD / 2]])

    fr_wheel = np.dot(rot2, fr_wheel)
    fr_wheel[0, :]  = x
    fr_wheel[1, :]  = y
    fl_wheel = np.dot(rot2, fl_wheel)
    fl_wheel[0, :]  = x
    fl_wheel[1, :]  = y
    rr_wheel = np.dot(rot2, rr_wheel)
    rr_wheel[0, :]  = x
    rr_wheel[1, :]  = y
    rl_wheel = np.dot(rot2, rl_wheel)
    rl_wheel[0, :]  = x
    rl_wheel[1, :]  = y
    vehicle_outline = np.dot(rot2, vehicle_outline)
    vehicle_outline[0, :]  = x
    vehicle_outline[1, :]  = y

    ax.plot(fr_wheel[0, :], fr_wheel[1, :], color)
    ax.plot(rr_wheel[0, :], rr_wheel[1, :], color)
    ax.plot(fl_wheel[0, :], fl_wheel[1, :], color)
    ax.plot(rl_wheel[0, :], rl_wheel[1, :], color)

    ax.plot(vehicle_outline[0, :], vehicle_outline[1, :], color)
    # ax.axis('equal')



if __name__ == "__main__":

    vehicle = Vehicle(x=0.0,
                      y=0.0,
                      yaw=0,
                      v=0.0,
                      dt=0.1,
                      l=VehicleInfo.L)
    vehicle.v = 1
    trajectory_x = []
    trajectory_y = []
    fig = plt.figure()
    # 保存动图用
    # camera = Camera(fig)
    for i in range(600):
        plt.cla()
        plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
        vehicle.update(0, np.pi / 10)
        draw_trailer(vehicle.x, vehicle.y, vehicle.yaw, vehicle.steer, plt)
        trajectory_x.append(vehicle.x)
        trajectory_y.append(vehicle.y)
        plt.plot(trajectory_x, trajectory_y, 'blue')
        plt.xlim(-12, 12)
        plt.ylim(-2.5, 21)
        plt.pause(0.001)
    #     camera.snap()
    # animation = camera.animate(interval=5)
    # animation.save('trajectory.gif')

运行结果如下：

dot math self 基础模型

0 人点赞