【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结11(多元统计分析基本概念)

2023-08-23 14:55:23 浏览数 (1)

随机向量

个随机变量，由它们组成的向量：

X=X(X_1,X_2,cdots,X_p)^top

称为随机向量。

随机向量的分布函数和密度函数

是一随机变量，它的多元分布函数是：

F(x)=F(x_1,x_2,cdots,x_p)=P(X_1le x_1,X_2le x_2, cdots, X_ple x_p)

式中：

，使得：

F(x)=intlimits_{-infty}^{x_1}cdotsintlimits_{-infty}^{x_p}f(t_1,t_2,cdots ,t_p)dt_1cdots dt_p

对一切

f(cdot)仍然要满足==非负归一性==。

随机向量的独立性

称为相互独立的，若

P(Xle x,Yle y)=P(Xle x)P(yle y)

对一切

  1. 若F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，G(x)和H(y)分别为X和Y的分布函数，则X和Y相互独立当且仅当F(x,y)=G(x)H(y)。
  2. 若(X,Y)有分布密度函数f(x,y)，用g(x)和h(y)分别表示X和Y的密度函数，则X和Y相互独立当且仅当f(x,y)=g(x)h(y)。

  • 在上述定义中，X和Y的维数一般是不同的。
  • 可推广到多元。

随机向量的均值

设X=(X_1, X_2,cdots,X_p)^top有p个分量，若E(X_i)=mu_i(i=1,2,cdots,p)存在，定义随机向量X的均值为： 式中，vec{mu}为一个p

当A、B为常数矩阵时，由定义可以立即推出如下性质：

  1. E(AX)=AE(X)
  2. E(AXB)=AE(X)B

随机向量的协方差矩阵

$$ begin{aligned} D(X)&=Cov(X,X)=E{[X-E(X)][X-E(X)]^top) &= begin{bmatrix} Cov(X_1,X_1) & Cov(X_1,X_2) &cdots & Cov(X_1,X_p) Cov(X_2,X_1) & Cov(X_2,X_2) &cdots & Cov(X_2,X_p) vdots & vdots & cdots & vdots Cov(X_p,X_1) & Cov(X_p,X_2) &cdots & Cov(X_p,X_p) end{bmatrix} &=(sigma_{ij})_{ptimes p}=Sigma end{aligned} $$

称为p维随机向量X的协方差矩阵，简称为X的协方差矩阵，称|Cov(X,X)|为X的广义方差，它是协方差矩阵的行列式之值。 称为随机向量X和Y的协方差矩阵，若Cov(X,Y)=vec{0}，则称X和Y

当A、B为常数矩阵时，由定义可以推出协方差矩阵有如下性质：

  1. D(AX)=AD(X)A^top=ASigma A^top
  2. Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B^top
  3. 协方差矩阵是一个半正定矩阵

随机向量的相关矩阵

的相关矩阵，其中：

r{ij}=frac{Cov(X_i,Y_j)}{sqrt{D(X_i)}sqrt{D(Y_j)}}=frac{sigma_{ij}}{sqrt{sigma_{ii}sigma_{jj}}},quad i,j=1,2,cdots,p

这里

为标准差矩阵，则：

Sigma=V^{frac{1}{2}}RV^{frac{1}{2}}

或

R=(V^{frac{1}{2}})^{-1}Sigma (V^{frac{1}{2}})^{-1}
dt int 函数

0 人点赞