【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结3(二维随机变量及其分布)

版本：1.0.2 最近更新时间：2022年11月09日 16:32 修改次数：1 历史修改内容： 1.0.2 修改离散型条件概率密度公式 1.0.1 修改联合分布函数的性质公式

联合分布函数

F(x,y)=P{Xle x, Yle y}

性质： $$ begin{aligned} &F( infty, infty)=1 F(-infty, -infty)=&F(x, -infty)=F(-infty, y)=0 end{aligned} $$

二维随机变量边缘分布律

离散型

P{X=x_i}=p_{icdot}=sumlimits_{j=1}^{infty}p_{ij}

sumlimits_{i=1}^{infty}p_{icdot}=sumlimits_{i=1}^{infty}sumlimits_{j=1}^{infty}p_{ij}=1

连续型

$$ begin{aligned} P_1(x)=int_{-infty}^{ infty}p(x,y)dy P_2(y)=int_{-infty}^{ infty}p(x,y)dx end{aligned} $$

注意： 不能由边缘分布求联合分布。

二维随机变量条件概率

离散型

P{X=x_i|Y=y_j}=frac{P{X=x_i, Y=y_j}}{P{Y=y_j}}=frac{p_{ij}}{p_{cdot j}}

连续型

$$ begin{aligned} &Y=y: & quad F_{X|Y}(x|y)=frac{int_{-infty}^{x}f(u,y)du}{f_Y(y)} ,quad f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)} &X=x: & quad F_{Y|X}(y|x)=frac{int_{-infty}^{y}f(x,v)dv}{f_X(x)} ,quad f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)} &f(x,y)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x) end{aligned} $$

注意：当 X、Y 相互独立时，F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) ，此时由边缘分布律可以唯一确定联合分布。

二维随机变量函数的分布

和分布（$Z=X Y$）

$$ begin{aligned} F_Z(z)&=int_{-infty}^{z}g(u)du g(u)&=int_{-infty}^{ infty}f(x,u-x)dx f_Z(z)&=g(z)= int_{-infty}^{ infty}f(x,z-x)dx end{aligned} $$

相互独立，则：

f_Z(z)=int_{-infty}^{ infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=int_{-infty}^{ infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy

推广：

一般地，若X_i相互独立，Z=sum a_iX_i

X_i sim N(mu_i, sigma_i^2) Longrightarrow Z sim N(sum a_imu_i,sum a_i^2sigma_i^2)
X_i sim b(n_i, p) Longrightarrow Z sim b(sum n_i,p)
X_i sim pi(lambda_i) Longrightarrow Z sim pi(sum lambda_i)

最大最小值分布（$Z=Max、Z=Min$，$X、Y$相互独立）

begin{aligned} F_M(z)&=P{Mle z} &=P{max(X,Y)le z} &=P{Xle z, Yle z} &=F_X(z)F_Y(z) end{aligned}

商的分布（$Z=frac{X}{Y}$）

f_Z(z)=int_{-infty}^{ infty}|y|f(zy,y)dy

若X、Y相互独立，f_Z(z)=int_{-infty}^{ infty}|y|f_X(zy)f_Y(y)dy

差的分布（$Z=X-Y$）

f_Z(z)=int_{-infty}^{ infty}f(z y, y)dy

积的分布（$Z=XY$）

f_Z(z)=int_{-infty}^{ infty}f(x,frac{z}{x})frac{1}{|x|}dx=int_{-infty}^{ infty}f(frac{z}{y},y)frac{1}{|y|}dy

总结： 二维随机变量函数的分布，一般解题步骤如下：

先求 Z=g(X,Y) 的分布函数 F_Z(z)
f_Z(z)=F'_Z(z)

int lambda sum 函数

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