【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结4（随机变量的数字特征）

版本：1.0.1 最后更新时间：2022年11月10日 09:07 修改次数：1 历史修改内容： 1.0.1：随机变量函数的期望公式

数学期望

E(X)=int_{-infty}^{ infty}xdF(x)

离散型

sum_{k=1}^{infty}x_kp_k 绝对收敛

sumlimits_{k=1}^{infty}x_kp_k=E(X)

连续型

绝对收敛

int_{-infty}^{ infty}xp(x)dx=E(X)

性质：

E(C)=C, C是常数
E(kX)=kE(X),k是常数
E(X_1 X_2)=E(X_1) E(X_2), quad E(sumlimits_{i=1}^{n} X_i)=sumlimits_{i=1}^{n}E(X_i)
若X、Y独立Longrightarrow E(XY)=E(X)E(Y)

随机变量函数的期望

一维（$Y=g(X)$）

E(X)=int_{-infty}^{ infty}g(x)dF(x)

离散型

E(Y)=E[g(X)]=sumlimits_{k=1}^{infty}g(x_k)p_k

连续型

E(Y)=E[g(X)]=int_{-infty}^{ infty}g(x)p(x)dx

X sim N(0, sigma^2), 求 E(X^n). n为奇数：E(X^n)=sigma^n(n-1)!!,n为偶数：E(X^n)=0

二维（$Z=g(X,Y)$）

E(Z)=E[g(X,Y)]=intlimits_{-infty}^{ infty}intlimits_{-infty}^{ infty}g(x,y)dF(x,y)

离散型

E(Z)=sum_{i,j=1}^{infty}g(x_i,y_j)p_{ij}

连续型

E(Z)=intlimits_{-infty}^{ infty}intlimits_{-infty}^{ infty}g(x,y)p(x,y)dxdy

方差

D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2)-E^2(X)

的求法：

E(X^2)=D(X) E^2(X)

*性质：

D(C)=0, C为常数
D(CX)=C^2D(X)

begin{aligned}D(aX pm bY)&=a^2D(X) b^2D(Y) pm 2abCov(X,Y) &=a^2D(X) b^2D(Y) pm 2abrho_{XY}sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}end{aligned}

D(aX b)=a^2D(X), quad D(sumlimits_{i=1}^{n} C_iX_i b)=sumlimits_{i=1}^{n}C_i^2D(X_i)
D(X)=0 Longleftrightarrow P{X=c}=1,c=E(X)

协方差

$$ begin{aligned} Cov(X,Y) &=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} &=E(XY)-E(X)E(Y) &=rho_{XY}sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)} end{aligned} $$

性质：

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(X,X)=D(X)
Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
Cov(X Y, Z)=Cov(X,Z) Cov(Y,Z)

随机向量的期望和方差

EY=l^top a, DY=l^top Bl

设

EY=Ca,DY=CBC^top

特征函数

f(t)=E(e^{itX})=int_{-infty}^{ infty}e^{itx}dF(x)

离散型

f(t)=sumlimits_{i=1}^{n}e^{itX_i}p_i

连续型

f(t)=int_{-infty}^{ infty}e^{itx}p(x)dx

性质：

f(0)=1
f(-t)=bar{f(t)}
若a、b是常数，Y=aX b，则f_Y(t)=E(e^{it(aX b)})=Ee^{itb}Ee^{itaX}=e^{itb}f_X(at)
若X、Y相互独立，则f_{X Y}(t)=f_X(t)f_Y(t)
EX^k=(-i)^kf_X^{(k)}(0)

常见分布的特征函数及其推导过程

切比雪夫不等式

P{|X-EX|ge epsilon}le frac{DX}{epsilon^2}

柯西-施瓦兹不等式

$$ begin{aligned} |E(XY)|^2 le EX^2EY^2 Cov^2(X,Y) le DXDY end{aligned} $$

int sum 函数数学

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