【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结5(大数定律和中心极限定理)

伯努利大数定律

lim_{nrightarrowinfty}P{|frac{n_A}{n}-p|<epsilon}=1

大数定律

$$ begin{aligned} lim_{nrightarrowinfty}P{|frac{1}{n}sumlimits_{k=1}^{infty}X_k-a_n|geepsilon }=0 lim_{nrightarrowinfty}P{|frac{1}{n}sumlimits_{k=1}^{infty}X_k-a_n|<epsilon }=1 end{aligned} $$

切比雪夫大数定律

特别地：当X_i

辛钦大数定律

条件：独立同分布，期望存在且相同

lim_{nrightarrowinfty}P{|frac{1}{n}sumlimits_{k=1}^{infty}X_k-mu|<epsilon }=1

大数定律	独立性	期望	方差	用途
伯努利大数定律	二项分布	相同	相同	估算概率
辛钦大数定律	独立同分布	相同	相同	估算期望
切比雪夫大数定律	独立	存在	存在有限	估算期望

中心极限定理

中心极限定理讨论：

frac{sumlimits_{i=1}^{n}X_i-E(sumlimits_{i=1}^{n}X_i)}{sqrt{D(sumlimits_{i=1}^{n}X_i)}}

对应的分布函数序列收敛于正态分布。 begin{aligned} &lim_{nrightarrowinfty}P{frac{sumlimits_{i=1}^{n}X_i-E(sumlimits_{i=1}^{n}X_i)}{sqrt{D(sumlimits_{i=1}^{n}X_i)}}le x}=int_{-infty}^x frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{t^2}{2}}dt=Phi(x) &Y_n= frac{sumlimits_{i=1}^{n}X_i-E(sumlimits_{i=1}^{n}X_i)}{sqrt{D(sumlimits_{i=1}^{n}X_i)}}=frac{sumlimits_{i=1}^{n}X_i-nmu}{sqrt{n}sigma}sim N(0,1) &sumlimits_{i=1}^{n}X_i=sqrt{n}sigma Y_n nmu sim N(nmu, nsigma^2) end{aligned}

德莫佛—拉普拉斯定理

eta_nsim B(n,p)

：

P{alemu_nle b }=P{frac{a-np}{sqrt{npq}}le frac{mu_n-np}{sqrt{npq}}lefrac{b-np}{sqrt{npq}}}approxPhi(frac{b-np}{sqrt{npq}})-Phi(frac{a-np}{sqrt{npq}})

格列文科定理

P{lim_{nrightarrowinfty}sup_{-infty< x< infty} |F_n(x)-F(x)|=0}=1

上述定理表明，样本容量n足够大时，对所有x，F_n(x)与F(x)之差的绝对值都很小，这件事概率为1，这是==用样本推断整体的依据==。

dt sum 函数

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