【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结6(抽样分布)

统计量

样本均值：bar{X}=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}X_i

样本方差：S^2=frac{1}{n-1}sumlimits_{i=1}^{n}(X_i-bar{X})^2

样本k阶原点矩：A_k=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}X_i^k

样本k阶中心矩：B_k=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(X_i-bar{X})^k

A_1=bar{X} B_2=frac{n-1}{n}S^2=S^2_n Longrightarrow nS^2_n=(n-1)S^2=sumlimits_{i=1}^{n}X_i^2-nbar{X}^2

性质：

1. E(bar{X})=E(X),D(bar{X})=frac{D(X)}{n}
2. E(S^2)=sigma^2,E(S_n^2)=frac{n-1}{n}sigma^2

经验分布函数：F_n(x)=frac{m(x)}{n}, m(x)为样本小于x的个数。

次序统计量

顺序统计量：X_{(1)}=minlimits_{1le kle n}{X_k},quad X_{(n)}=maxlimits_{1le kle n}{X_k}

极差：D_n=X_{(n)}-X_{(1)}

密度函数

的密度函数：

标准正态分布

X sim N(0,1)

上alpha分位点：P{X>Z_alpha}=alpha,P{Xle Z_alpha}=1-alpha

Phi(Z_alpha)=1-alpha, Z_{1-alpha}=-Z_alpha

卡方分布

X_1,X_2,cdots,X_n独立同标准正态分布，chi^2=X_1^2 X_2^2 cdots X_n^2 sim chi^2(n)

chi^2=frac{1}{sigma^2}sumlimits_{i=1}^{n}(X_i-mu)^2 sim chi^2

X_1 sim chi^2(n_1), X_2 sim chi^2(n_2),则X_1 X_2 sim chi^2(n_1 n_2)

chi^2分位点：P{chi^2>chi^2_alpha(n)}=alpha

t分布

相互独立，则：

分位点：

当n>45t_alpha(n)approx Z_alpha

F分布

begin{aligned} F=frac{X/n}{Y/m} sim F(n,m) frac{1}{F} sim F(m,n) end{aligned} 分位点：P{F>F_alpha(n_1, n_2) }=alpha

随机向量

eta=(eta_1, eta_2, cdots, eta_n)', X=(X_1, X_2,cdots,X_n)'

eta=AX, A=(a_{ij})_{ntimes n}

Eeta=A(EX), Deta=A(DX)A'

样本均值和样本方差的分布

单个正态总体

X_1,X_2,cdots,X_n来自正态总体N(mu,sigma^2)，则：

两个正态总体

X_1,X_2,cdots,X_n来自正态总体N(mu_1,sigma_1^2)，Y_1,Y_2,cdots,Y_m来自正态总体N(mu_2,sigma_2^2) ,则：

若sigma_1=sigma_2，则：frac{S_1^2}{S_2^2}sim F(n-1,m-1)

X_1,X_2,cdots,X_n来自正态总体N(mu_1,sigma^2)，Y_1,Y_2,cdots,Y_m来自正态总体N(mu_2,sigma^2) ,则：