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例题1 两个数的最大公约数
原题链接
描述
输入2个正整数a，b，求a与b的最大公约数。
输入
2个正整数a，b，中间用空格隔开。(1<=a,b <= 104)
输出
输出a与b的最大公约数。
样例输入
代码语言：javascript复制6 15样例输出
代码语言：javascript复制3代码 1
代码语言：javascript复制#include <bits/stdc .h>
using namespace std;
int main(){
int a, b;
cin >> a >> b;
int flag = 1;
for(int i = 2; i <= min(a,b); i ){
if(a % i == 0 && b % i == 0) flag = max(flag,i);
}
cout << flag << "n";
return 0;
}代码 2
代码语言：javascript复制#include <bits/stdc .h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int main(){
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a,b) << "n";
return 0;
}2. 课程内容
2.1 数论简介
数学题在算法竞赛中经常出现，在竞赛中经常把数学模型和其他算法结合起来，出综合性的题目。
分类：
- 整除性问题:整除、最大公约数、最大公倍数;欧几里得算法、扩展欧几里得算法。
- 公式计算：高精度计算、概率和数学期望
- 素数问题:素数判定、筛法、区间素数统计。
- 同余问题:模运算、同余方程、快速幂、中国剩余定理、逆元、整数分解、同余定理、不定方程。
- 积性函数:欧拉函数、伪随机数、莫比乌斯反演。
- 多项式与生成函数：快速傅里叶变换、普通生成函数、指数生成函数。
- 递推关系:Fibonacci数列、Stirling数、Catalan数。
- 群论:Polya定理。
- 线性规划:单纯形法。
- 线性代数：矩阵、高斯消元。
- 博弈论：公平组合游戏、非公平组合游戏。
- 排列组合:容斥原理、抽屉原理、康托展开、排列生成、组合生成
特点
- 涉及大量数学定理、数学模型和公式计算，综合程度高
- 需要将题目抽象出其数学模型，或根据条件推理出规律进行求解
2.2 欧几里得算法
1. 简介与证明
概念
- 最大公约数指两个或多个整数共有约（因）数中最大的数
- 最小公倍数指两个或多个整数的公倍数里最小的数
- 欧几里得算法：又称辗转相除法，用于计算两个非负整数 a 和 b 的最大公约数
思想
- 辗转相除法求最大公约数 求100和18的最大公约数？
求 100 和18 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的： 100 / 18 = 5 (余 10) 100%8=10 18 / 10= 1(余8) 18=8 10 / 8 = 1(余2) 10%8=2 8 / 2 = 4 (余0) 8%2=0 至此，最大公约数为2 以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 100 和 18 的最大公约数2。
- 求N和M的最小公倍数lcm(N,M)，则先求N和M的最大公约数gcd(N,M)，然后frac{Ntimes M}{gcd(N,M)}则为最小公倍数。
2. 算法模板
//最大公约数
int gcd(int a, int b){
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
//最小公倍数
int lcm(int a,int b){
return a / gcd(a,b) * b;
}3. 最大公约数
原题链接
描述 输入两个正整数a、b，求a、b的最大公约数。要求采用递归函数实现。
输入
输入两个正整数a、b。
输出
输出a、b的最大公约数。
代码语言：javascript复制20 15样例输出
样例输出
代码语言：javascript复制5代码
代码语言：javascript复制#include <bits/stdc .h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
int main(){
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a,b) << "n";
return 0;
}4. 多个数的最小公倍数
原题链接
题目描述 输入n个数，请计算它们的最小公倍数。如5、7、15的最小公倍数是105。
输入 首先输入一个正整数T,表示测试数据的组数，然后是T组的测试数据。 每组测试先输入一个整数n（2<=n<=20),再输入n个正整数（n属于[1,100000]),这里保证最终的结果在int型范围内。
输出 对于每组测试，输出n个整数的最小公倍数。
样例输入
代码语言：javascript复制2
3 5 7 15
5 1 2 4 3 5样例输出
代码语言：javascript复制105
60分析
- 求多个数的最小公倍数，可以两两相求
代码
代码语言：javascript复制#include <bits/stdc .h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
int lcm(int a,int b){
return a / gcd(a,b) * b;
}
void solve(){
int n;
cin >> n;
int t;
cin >> t;
for(int i = 2; i <= n ; i ){
int x;
cin >> x;
t = lcm(t,x);
if(i == n) cout << t << 'n';
}
}
int main(){
int _;
cin >> _;
while(_--){
solve();
}
return 0;
}2.3 扩展欧几里得算法
1. 简介与证明
作用
- 求形如ax by=gcd(a,b)的方程的解x,y
思想
- 欧几里得算法：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，特别的gcd(a,0)=a
- 裴蜀定理：对于任意正整数a,b，一定存在非零的x,y，使得ax by=gcd(a,b)
注意
- 当方程符合ax by=gcd(a,b)的形式时，才可以用扩展欧几里得算法求解(x_0,y_0)
- 推论：可以进一步求解任意方程ax by=n，得到一个整数解
2. 算法模板
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(!b){ //若b=0时
x = 1,y = 0;
return ;
}
else{ //b!=0时
exgcd(b, a % b, x, y); //递归到下一层
int t = x; //返回时执行
x = y;
y = t - a / b * y;
}
}3. 解ax by=gcd(a,b)方程
原题链接
描述
给定n对正整数 a_i,b_i，对于每对数，求出一组 x_i,y_i，使其满足 a_i×x_i b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)。
输入格式 第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含两个整数 a_i,b_i。
输出格式 输出共 n 行，对于每组a_i,b_i，求出一组满足条件的 x_i,y_i，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 x_i,y_i 均可。
数据范围 1≤n≤105, 1≤a_i,b_i≤2×10^9 输入样例：
代码语言：javascript复制2
4 6
8 18输出样例：
代码语言：javascript复制-1 1
-2 1代码
代码语言：javascript复制#include <bits/stdc .h>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=1,y=0;
return ;}
else{
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
while(n--){
int a,b,x,y;
cin>>a>>b;
exgcd(a,b,x,y);
cout<<x<<" "<<y<<endl;
}
return 0;
}4. 解一元线性同余方程
概念
- axequiv b(mod~m)，即frac{ax}{m}与frac{b}{m}的余数相同，且a,b,m为整数，求x的值
- 该方程即为一元线性同余方程
思想
- 对axequiv b(mod~m)做等价变形：ax my=b
- 由扩展欧几里得算法的推论可知：当且仅当 gcd(a,m)可以整除b时，ax my=b存在整数解
例题 878. 线性同余方程
原题链接
描述
给定 n 组数据 a_i,b_i,m_i，对于每组数求出一个 x_i，使其满足 a_i×x_i≡b_i(mod~m_i)，如果无解则输出 impossible。
输入格式 第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一组数据 a_i,b_i,m_i。
输出格式 输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 x_i，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 int 范围之内。
数据范围 1≤n≤105, 1≤a_i,b_i,m_i≤2×10^9
代码语言：javascript复制2
2 3 6
4 3 5输出样例：
输出样例：
代码语言：javascript复制impossible
-3代码
代码语言：javascript复制#include <bits/stdc .h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if(!b){ //若b=0时
x=1,y=0;
return ;
}
else{
exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
while(n--){
LL a,b,m,x,y;
cin>>a>>b>>m;
LL d=gcd(a,m);
exgcd(a,m,x,y);
if(b%d) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<b/d*x%m<<endl;
}
return 0;
}
