基础入门理论
动态规划是一种常见的算法设计方法，主要用于优化多阶段决策问题的求解过程，具有高效性和可靠性。其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，逐个求解这些子问题，并保存每个子问题的结果，避免重复计算，以便快速地求出原问题的解。动态规划主要应用于最优化问题，如最长公共子序列、背包问题等。
动态规划算法主要有以下几个步骤：
- 定义状态：将原问题转化为子问题，定义状态表示子问题的解。
- 设计状态转移方程：根据状态之间的联系，设计状态转移方程，表示从子问题的解推导出原问题的解。
- 初始化：初始化子问题的解，即确定初始状态。
- 计算顺序：按照状态之间的依赖关系，按顺序计算子问题的解，直到计算出原问题的解。
- 输出解：输出原问题的解。
最大连续子串和
给出数组a，求出数组a中最大的连续子串的和。
暴力求解
两种方法，都是从起始点开始循环，但f2方法比f1优化了，没有去重复求出已经得到的结果。
代码语言：javascript复制import java.util.Arrays;
public class maxSubSum {
public static void main(String[] args) {
int[] a = {-2, 11, -4, 13, -5, 2};
f1(a);
f2(a);
}
public static void f1(int[] a) {
int max = Integer.MIN_VALUE;//记录最大连续子串的和，先给定无穷小
for (int start = 0; start < a.length; start ) {//穷举所有子串的起始点
for (int len = 1; start len <= a.length; len ) {
//起始点固定，穷举长度分别为1-6的所有情况
int sum = 0;
for (int i = start; i < start len; i ) {
sum = a[i];//sum为每次连续子串的和
}
max = Math.max(max, sum);//记录当前循环中最大的子串和
System.out.printf("len=%d a[%d-%d] sum=%dn",len, start, start len, sum);
}
}
System.out.println("最大子串和为：" max);
}
public static void f2(int[] a) {
int max = Integer.MIN_VALUE;//记录最大连续子串的和，先给定无穷小
for (int start = 0; start < a.length; start ) {//穷举所有子串的起始点
int sum = 0;
for (int len = start; len < a.length; len ) {//从start开始一直循环到最后
sum = a[len];//sum为每次连续子串的和
max = Math.max(max, sum);//记录当前循环中最大的子串和
System.out.printf("len=%d a[%d-%d] sum=%dn",len, start, start len, sum);
}
}
System.out.println("最大子串和为：" max);
}
}可以看出每次起始点和长度变化时sum的值。
DP
判断dp[i - 1]是否大于0，大于0时dp[i] = dp[i - 1] a[i]，如果小于等于0那么dp[i] = a[i]。也就是在dp[i - 1] a[i]和a[i]中取最大值赋给dp[i]。也可以理解为每一个问题都会用到前一个子问题的最优解
代码语言：javascript复制import java.util.Arrays;
//最大连续子串和
public class maxSubSum {
public static void main(String[] args) {
int[] a = {-2, 11, -4, 13, -5, 2};
f3(a);
}
public static void f3(int[] a) {
int[] dp = new int[a.length];
int max = Integer.MIN_VALUE;//记录最大连续子串的和，先给定无穷小
dp[0] = Math.max(0, a[0]);
for (int i = 1 ; i < a.length; i ) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] a[i], a[i]);
if (max < dp[i]) {
max = dp[i];
}
}
System.out.println(Arrays.toString(dp));
System.out.println(max);
}
}得到运行后的dp数组以及最大子串的和
LCS最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。一个数列 ，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则称为已知序列的最长公共子序列。
给定两个字符串，找出这两个字符串中最大的公共子序列 s = BDCABA t = ABCBDAB
如果当前比较的两个字符相等，那么dp[i 1][j 1] = dp[i][j] 1;如果不相等，那么dp[i 1][j 1] = Math.max(dp[i][j 1], dp[i 1][j]);
例如如上表格中，dp[3][5]就表示字符串 BDC 和 ABCBD，公共子序列包含BD和BC，长度为2，所以dp[3][5] = 2。在其基础上都增加一个字符，也就是在dp[4][6]位置，表示字符串 BDCA 和 ABCBDA，增加的都是A字符，所以dp[4][6] = dp[3][5] 1 = 3。
代码语言：javascript复制import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class LCS {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
String s, t;
while (scanner.hasNext()) {
s = scanner.next();
t = scanner.next();
//dp[i][j]表示s1带si yu t1到tj的最长公共子序列
int[][] dp = new int[s.length() 1][t.length() 1];
//因为s和t是从1开始的所以长度要 1
for (int i = 0; i < s.length(); i ) {
for (int j = 0; j < t.length(); j ) {
if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {
dp[i 1][j 1] = dp[i][j] 1;
} else {
dp[i 1][j 1] = Math.max(dp[i][j 1], dp[i 1][j]);
}
}
}
System.out.println(dp[s.length()][t.length()]);
for (int[] i:dp) {
System.out.println(Arrays.toString(i));
}
}
}
}运行后求出最大公共子序列和表格
LIS最长上升子序列
最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列，也有些情况求的是最长非降序子序列，二者区别就是序列中是否可以有相等的数。对于固定的数组，虽然LIS序列不一定唯一，但LIS的长度是唯一的。例如给出如下序列 ( 2, 7, 1, 5, 6, 4, 3, 8, 9)，就饿可以得到最长上升子序列长度为5，但序列可以为 (2, 7, 6, 8, 9)，也可以为 (2, 5, 6, 8, 9)。
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class LIS {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
while (scanner.hasNext()) {
int n = scanner.nextInt();//序列的长度
int[] a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i ) {
a[i] = scanner.nextInt();
}
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp, 1);//最小的上升子序列就是当前a[i]本身，例如 5 4 3 2 1
int l = 0;//记录全局最长的上升子序列
for (int i = 0; i < n; i ) {
//dp[0],dp[1] ... dp[n - 1]
for (int j = 0; j < i; j ) {
//求dp[i],需要穷举前[0, 1, .... i - 1]的子状态
if (a[i] > a[j]) {//硬性条件，因为只有这样才能和a[i]构成升序
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] 1);//因为已经默认了所有的最小子序列为1，所以这里dp[j]要 1
}
}
l = Math.max(dp[i], l);//将dp[i]或者当前的l最大的赋给l
}
System.out.println(Arrays.toString(dp));
System.out.println(l);
}
}
}
数塔
思路：可以从数塔的下方向上进行循环相加然后比较，如果从上向下无法选择哪一条路得到的结果是最大的。
找到状态转移方程为 a[i][j] = Math.max(a[i 1][j], a[i 1][j 1]), 表示当前的这个数的值等于其下方或右下方两个值其中最大的一个，所以我们也可以判断出需要从倒数第二行进行增加，因为最后一行下方没有值。
代码语言：javascript复制import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class numberTower {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();//输入数据行数
int[][] a = new int[n][n];//数组底和高长度都为n，三角形
for (int i = 0; i < n; i ) {
for (int j = 0; j <= i; j ) {
a[i][j] = scanner.nextInt();//输入数据
}
}
for (int[] b : a) System.out.println(Arrays.toString(b));
//a[i][j] = Math.max(a[i 1][j], a[i 1][j 1])
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {//从倒数第二行开始dp，因为从倒数第一行开始的话无法获得最大值
for (int j = 0; j <= i; j ) {
a[i][j] = Math.max(a[i 1][j], a[i 1][j 1]);
//表示当前的这个数的值等于其下方或右下方两个值其中最大的一个
}
}
System.out.println();
for (int[] b : a) System.out.println(Arrays.toString(b));
System.out.println(a[0][0]);
}
}得到经过节点之和最大为59
最大子矩阵和
求矩阵中最大的子矩阵的和
利用前缀和的思想，求出所有可能性子矩阵的前缀和，也就是将一个矩阵块利用前缀和快速的压缩成单行，然后找出这一行中最大的字段和
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class maxSubmatrixArray {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();//表示矩阵的长和宽的长度
int[][] g = new int[n 1][n 1];
for (int i = 1; i <= n; i ) {
for (int j = 1; j <= n; j ) {
g[i][j] = scanner.nextInt();
g[i][j] = g[i - 1][j];//按行同步计算二维数组的前缀和
}
}
int ans = Integer.MIN_VALUE;//开始时先给最小值，用来存放子矩阵的最大的和
for (int start = 1; start <= n; start ) {
for (int end = 1; end <= n; end ) {
//枚举从start到end行的矩阵块
//从start到end行的矩阵块，我们可以用前缀和快速地压缩成单行的和
int dpi = 0;
for (int col = 1; col <= n; col ) {
int ai = g[end][col] - g[start - 1][col];//根据前缀和快速计算start行到end列的累加和
dpi = Math.max(dpi ai, ai);
ans = Math.max(ans, dpi);
}
}
}
for (int[] x : g) System.out.println(Arrays.toString(x));
System.out.println(ans);
}
}
背包问题
01背包
01背包问题是一个经典的背包问题，是指一个固定容量的背包，以及一些物品，每个物品有自己的体积和价值，在不超过背包容量的情况下，将一些物品装入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
代码语言：javascript复制给定5个物品，以及一个容量为10的背包，根据所有物品的价值，找出背包中物品总价值最大的值。 物品体积为：{2, 5, 4, 2, 3} 所对应的价值为：{6, 3, 5, 4, 6} 求解思路： 使用动态规划算法。先定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包可以获得的最大价值。对于第 i 个物品，它可以选择放入背包中或不放入背包中，所以对于每一个物品，我们需要遍历所有的背包容量 j，如果选择放入背包，那么它对 dp[i][j] 的贡献就是当前物品的价值，同时还需要考虑容量剩余 j - v[i] 的最大价值，即 dp[i - 1][j - v[i]]；如果选择不放入背包，那么它对 dp[i][j] 的贡献就是 0，容量也不需要修改。 所以，动态转移方程为：dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] w[i])
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class beibao01 {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();//n个物品的体积
int m = scanner.nextInt();//背包的容量
int[] v = new int[n 1];//存放n个物品的体积,n 1是因为i从1开始
int[] w = new int[n 1];//存放n个物品的价值
int[][] dp = new int[n 1][m 1];
//dp[i][j]只考虑前i种物品，书包容量为j时为最后装载的价值
for (int i = 1; i <= n; i ) {
//输入每个物品的体积和价值
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i ) {//穷举前i个物品的体积
for (int j = 1; j <= m; j ) {//前i个物品的体积确定后穷举背包的容量
if (j < v[i]) {
//如果当前物品的体积大于背包的容量，就相当于用第i - 1个物品去装j容量的背包
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
//如果当前物品可以被背包装下，就要考虑价值的问题，可以选择装或者不装,取价值最大值
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] w[i]);
}
}
}
for (int[] x : dp) System.out.println(Arrays.toString(x));
System.out.println(dp[n][m]);
}
}得到规划后的数组以及最大的价值为17
完全背包
完全背包问题是一个经典的动态规划问题，它是背包问题的一个变种。在这个问题中，有一个固定大小的背包，和一些可放入背包中的物品。每种物品都有一个对应的价值和重量，无限个可用。需要确定如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。和0-1背包问题不同的是，在完全背包问题中，每个物品是无限可用的，可以选择多次放入。
代码语言：javascript复制import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
// 输入物品数量和背包容量
int n = input.nextInt(); // 物品数量
int m = input.nextInt(); // 背包容量
// 初始化两个数组
int[] w = new int[n 1]; // 物品的重量
int[] v = new int[n 1]; // 物品的价值
// 输入每个物品的重量和价值
for (int i = 1; i <= n; i ) {
w[i] = input.nextInt();
v[i] = input.nextInt();
}
// 初始化dp数组，dp[i][j]表示前i个物品，容量为j的背包的最大价值
int[][] dp = new int[n 1][m 1];
// 递推求解dp数组
for (int i = 1; i <= n; i ) {
for (int j = 1; j <= m; j ) {
// 当前物品可以重复选择
for (int k = 0; k <= j / w[i]; k ) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * w[i]] k * v[i]);
}
}
}
// 输出最大价值
System.out.println(dp[n][m]);
}
}多重背包
多重背包问题是背包问题的一种扩展，指的是有一批物品，每种物品有数量限制，每种物品的数量可以有多个，而背包的容量是固定的，目标是选取一些物品放入背包中，使得在物品数量不超过限制的前提下，背包中物品的总价值最大。
和01背包问题相比，多重背包问题的每种物品可以选择多个，而01背包问题的每种物品只能选择一个。而和完全背包问题相比，多重背包问题的每种物品有数量限制，而完全背包问题的每种物品可以选择无限个。因此，多重背包问题是背包问题的中间难度，介于01背包和完全背包之间。
代码语言：javascript复制import java.util.Scanner;
public class MultipleKnapsack {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
// 物品数量
int N = sc.nextInt();
// 背包容量
int V = sc.nextInt();
// 物品价值数组
int[] values = new int[N 1];
// 物品重量数组
int[] weights = new int[N 1];
// 物品数量数组
int[] nums = new int[N 1];
// 输入物品信息
for (int i = 1; i <= N; i ) {
values[i] = sc.nextInt();
weights[i] = sc.nextInt();
nums[i] = sc.nextInt();
}
// dp 数组，dp[i][j] 表示前 i 件物品，容量为 j 时的最大价值
int[][] dp = new int[N 1][V 1];
// 逐个物品考虑
for (int i = 1; i <= N; i ) {
// 逐个容量考虑
for (int j = 0; j <= V; j ) {
// 初始化 dp[i][j]，即前 i 件物品容量为 j 时的最大价值
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
// 遍历物品数量，尝试更新 dp[i][j]
for (int k = 1; k <= nums[i]; k ) {
// 如果当前容量 j 可以放下当前物品
if (j >= k * weights[i]) {
// 更新 dp[i][j]
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * weights[i]] k * values[i]);
}
}
}
}
System.out.println(dp[N][V]);
}
}
