1.AVL树概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下, 所以在此基础上提出解决办法： 当向二叉搜索树中插入新节结点时，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度 AVL树又称平衡二叉搜索树
2. AVL树性质
AVL树的性质： 1.它的左右子树都是AVL树 2.左右子树高度之差(平衡因子)的绝对值不超过1(1/0/-1) 平衡因子=右子树高度-左子树高度
3.AVL树的实现
在实现结构与插入功能时，与二叉搜索树有很多相似的地方 ：二叉搜索树 所以一部分关于二叉搜索树的地方就不详细说了
与二叉搜索树定义结构不同的是，多了一个父节点parent以及平衡因子bf
insert
insert的实现前半部分与二叉搜索树的insert实现大部分相同
parent的右子树连接新节点为例，出while循环后，需要反向链接父节点，而此时的父节点就为刚才记录cur前一个节点的parent
插入情况分析
1.
若新增节点作为parent的右子树即cur==parent->right parent的平衡因子 1 即 parent->bf
若新增节点作为parent的左子树即cur==parent->left parent的平衡因子 -1 即 parent->bf--
3.
若新增节点作为parent的左子树即cur==parent->left parent的平衡因子-1 即 parent->bf--
若parent的平衡因子等于1或者-1 即第一种与第二种情况，说明parent所在子树变了，需要继续向上更新爷爷节点 为什么需要继续更新？ 说明插入前parent的平衡因子为0，插入前左右高度相等，现在一边高1，高度变了
若parent的平衡因子等于2或者-2 ， 说明parent所在子树不平衡，需要以旋转的方式处理子树
若parent的平衡因子等于0， parent所在子树高度不变，就不需要向上更新，插入结束了 为什么插入结束了呢？ 插入前parent的平衡因子是-1或者1，插入前一边高一边低，插入节点到矮的那边，高度不变
更新平衡因子
插入新增节点后，更新平衡因子 如果更新之后，平衡因子没有问题(绝对值<=1)，说明插入对树的平衡机构没有影响，不需要处理 如果更新之后，平衡出现问题，平衡结构受到影响(平衡因子为2/-2)，需要旋转 插入新增节点，会影响部分/整体祖先
旋转处理
旋转的原则：保持继续是搜索树 旋转的目的：左右均衡，降低高度
a/b/c分别代表高度为h的AVL子树 平衡因子=右子树深度-左子树深度
情况1——h=0
当h=0时，60的平衡因子：0-1=-1 30的平衡因子：2-0=2 由于平衡因子出现2，所以需要旋转
情况2——h=1
当h=2时，60的平衡因子:2-1=1，30的平衡因子:3-1=2 由于平衡因子出现2，所以需要旋转 在parent节点左右插入，都会引发平衡因子变为2
情况3——h=2
对于c来说，必定是x形状 假设c为y形状
在左子树新插入一个节点，那这颗子树的平衡因子变为-2，需要旋转，而不会去往上更新到30
若右子树插入一个节点，parent的平衡因子变为0，不需要往上更新到30
对于a和b，必定是x、y、z中的一种形状
假设abc都是x形状，则在c中插入节点，无论插入左边还是右边，都会导致parent的平衡因子为2或者-2
c的高度变化，必定引发旋转
在红框中的四个位置任意一边插入，30的平衡因子都会变为2/-2
虽然分为三种情况，但是旋转的规则是相同
左单旋
以h=1为例
左单旋的旋转方式： 把B变成30的右边，30变成60的左边，60变成整棵树的根
左单旋抽象图
父节点问题 把subR作为30的右子树时，需要更新sub的父节点为parent 把parent作为subR的左子树时，更新parent的父节点为subR
有可能当前旋转的是整棵树或者整棵树的一部分 设置一个ppnode，用于存放parent的父节点 若旋转一部分时，跟ppnode相连接，同时也要判断连接到左子树还是右子树 若旋转整棵树时，父节点置NULL，subR作为新的根
右单旋
在a处新增节点，使其高度变为h 1，造成旋转 右单旋的旋转方式： b作为60的左边，60作为30的右边，30变成整棵树的根 右单旋h与左单旋一样，都有h为1、2、3的三种情况，只不过右单旋的插入节点在a处，其他的条件都是相同的
右单旋跟左单旋思想相同， 只不过把b作为60的左子树，再把60作为30的右子树 同样考虑父节点问题以及旋转整棵树或者部分子树旋转问题
在insert中判断左右单旋的条件
当parent的平衡因子为2并且cur的平衡因子为1时，为左单旋
当parent的平衡因子为-2并且cur的平衡因子为-1时，为右单旋
双旋转
抽象图
当h=0时，60作为新增节点
当h==1时，60的左右子树新增都会引用旋转
假设在左子树处新增节点
若h==2时
a/d是x/y/z中的任意一种 b/c的孩子位置的任意一点插入节点，都会引发旋转
左右双旋
当h==2时， 假设在b的右子树插入节点
将30进行左旋：30是parent的左子树 将b作为30的右子树，将30作为60的左子树，将60作为90的左子树
将60进行右旋：60作为整棵树新的根 将60的右子树作为90的左子树，将90作为60的右子树
假设在c的右子树插入新增节点
新增节点插入在b和c节点，各个位置的平衡因子是不一样的
当h=0时，左右双旋后，平衡因子与上述两个也是不同的
当subLR即60节点处的平衡因子为-1时，说明在b处插入新增节点， 双旋后 subl的平衡因子为0，subLR的平衡因子为0，parent的平衡因子为1
当subLR即60节点处的平衡因子为1时，说明在c处插入新增节点， 双旋后 subl的平衡因子为-1，subLR的平衡因子为0，parent的平衡因子为0
当subLR即60节点处的平衡因子为0时，说明在60即为新增节点， 双旋后 subl的平衡因子为0，subLR的平衡因子为0，parent的平衡因子为0
右左双旋
当h==0时，60作为新增节点
当h==1时，60的左右新增节点都会引发旋转
a/d是x/y/z中任意一个 b和c是一个节点的子树
b/c的四个孩子位置的任意一个位置新增节点，都会引发旋转
假设在c处新增节点
对于90进行右单旋，将c作为90的左子树，将90作为60的右子树
对30进行左单旋，将b作为30的右子树，将30作为60的左子树
插入引发双旋的场景
1.h==2时，c插入，c的高度变化为h
刚开始60的平衡因子为1
2..h==2时，b插入，b的高度变化为h
刚开始60的平衡因子为-1
3. h==1时，60本身就是新增节点
刚开始60的平衡因子为0
当subLR即60节点处的平衡因子为1时，说明在c处插入新增节点， 双旋后 subR的平衡因子为0，subRL的平衡因子为0，parent的平衡因子为-1
当subLR即60节点处的平衡因子为-1时，说明在b处插入新增节点， 双旋后 subR的平衡因子为1，subRL的平衡因子为0，parent的平衡因子为0
当subLR即60节点处的平衡因子为0时，说明在60即为新增节点， 双旋后 subR的平衡因子为0，subRL的平衡因子为0，parent的平衡因子为0
当parent的平衡因子为2，并且cur的平衡因子为-1时，为右左双旋
中序遍历
平衡树的中序遍历与搜索树的中序遍历基本一致，root->_kv.first 实际上代表的是kv中key值
如果不懂可以查看：二叉搜索树
判断一颗二叉树是否为平衡树
因为平衡因子是自己更新的，如果更新错了，那检查将无意义 所以通过高度差去判断
在height函数中，求出其左右子树高度，并返回左右子树高度大的加1 即当前树的高度
在_isbalance函数中，通过左右子树高度差的绝对值 ，判断是否为平衡树 ，即 高度差不超过2
在当前情况下，虽然左子树与右子树的高度差为1， 但是并不是平衡树，因为它的右子树节点6的高度差为2 所以还要判断子树是否符合平衡树
若平衡因子异常，虽然在当前判断平衡树是没有影响的，但是在后续插入判断时，使不该旋转的进行旋转了 所以需要判断下当前root的平衡因子是否与左右子树高度差相等，若不想等则平衡因子异常
整体代码
代码语言：javascript复制#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;//当前节点值
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr),
_kv(kv),
_bf(0)
{
}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;//用于记录cur的前一个节点
Node* cur = _root;
while (cur)
{
//若插入的值比当前树的值小 插入左边
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//若插入的值比当前树的值大 插入右边
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//若插入的值，在树中有相同的值 ，则插入失败
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
//再次判断parent当前节点值与插入值大小
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
//cur的上一个节点即为 刚才的记录cur前一个节点的parent
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent)
{
//若插入节点在parent的右子树
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf ;
}
//若插入节点在parent的左子树
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//继续向上更新
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
//平衡因子为0，不需要向上更新
else if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//旋转
//1.让这颗子树平衡 2.降低子树高度
if ( parent->_bf == 2&&cur->_bf == 1 )//左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if(parent->_bf==-2&&cur->_bf==1)//左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
//旋转后整颗树已经平衡了，就不需要在继续了
break;
}
}
return true;
}
void inorder()//中序遍历
{
_inorder(_root);
cout << endl;
}
//判断一颗二叉树是否为平衡树
bool isbalance()
{
return _isbalance(_root);
}
private:
int height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftH = height(root->_left);//左子树高度
int rightH = height(root->_right);//右子树高度
//返回左右子树高度大的加1
return leftH > rightH ? leftH 1 : rightH 1;
}
bool _isbalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftH = height(root->_left);
int rightH = height(root->_right);
if (rightH - leftH != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
return false;
}
//判断最终绝对值是否小于2
return abs(leftH - rightH) < 2&&_isbalance(root->_left)&&_isbalance(root->_right);
}
void _inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_inorder(root->_right);
}
void RotateL(Node* parent)//左单旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL != nullptr)
{
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;//记录parent的前一个节点
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppnode == nullptr)//说明parent是根即代表整棵树
{
_root = subR;//subR作为新的根
_root->_parent = nullptr;//subR的父节点指向原来的parent,所以要置nullptr
}
else//说明旋转的是一部分，所以要跟ppnode相连接
{
if (ppnode->_left == parent)//若连接在左子树上
{
ppnode->_left = subR;
}
else//若连接在右子树上
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;//将subR父节点置为ppnode
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;//平衡因子都为0
}
void RotateR(Node* parent)//右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;//记录parent的父节点
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (ppnode == nullptr)//若旋转整棵树
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else//若旋转整棵树的部分子树
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;//使subL的父节点为ppnode
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;//记录平衡因子，在后续单旋会置为0
//先对parent的左子树进行左单旋
RotateL(parent->_left);
//再对当前根进行右单旋
RotateR(parent);
if (bf == -1)//h==2时，在b处插入节点
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//h==2时，在c处插入节点
{
subL ->_bf = -1;
subLR ->_bf= 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//当h==0时，60作为新增节点
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}
void RotateRL(Node* parent)//右左双旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;//记录平衡因子，在后续单旋会置为0
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
//h==2时，c插入，c的高度变化为h
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
//h==2时，b插入，b的高度变化为h
else if (bf ==-1)
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
// h==1时，60本身就是新增节点
else if(bf == 0 )
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
//不存在情况，若进入则出问题了
assert(false);
}
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void test_AVLTree1()
{
//int a[]={16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14};
AVLTree<int, int>v1;
for (auto e : a)
{
v1.insert(make_pair(e,e));
}
v1.inorder();
cout << v1.isbalance() << endl;//返回值为布尔值
}
