离散数学与组合数学-01集合论

本文为离散数据与组合数学电子科技大学王丽杰老师的课程笔记，详细视频参考 【电子科技大学】离散数学（上） 王丽杰 【电子科技大学】离散数学（下） 王丽杰 latex的离散数学写法参考： 离散数学与组合数学-01

离散数学公式 !符号 代码 含义

wedge 且

vee 或

cap 交

cup 并

subseteq 子集

nsubseteq 不是子集

subset 真子集

notsubset 不是真子集

in 属于

notin 不属于

leftrightarrow 等价

Leftrightarrow 等值

neg或lnot 非

mathbb{R} 实数集

mathbb{Z} 整数集

varnothing 空集

forall 对任意的

exists 存在

geq大于等于

leq 小于等于

1.离散数学与组合数学-01集合论

1.1 集合定义

1.1.1 什么是集合

1. A set is a group of objects. (simplest way)
2. By a set we mean any collection M into a whole of definite distinct objects m (which we called elements of M) of our perception or of our thought. (Cantor’s way)
3. 集合 是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称 为这个集合的元素。(In chinese)
4. 外延公理 空集存在公理 无序对公理 并集公理 幂集公理 无穷公理 替换公理 正则公理 选择公理。(ZFC 公理化集合论):引入ZFC公理化的原因是避免出现悖论的集合，如我给小镇里不自己理发的人理发。

1.1.2 集合案例

1 所有英文字母 2 所有小于 100 的正奇数 3 中国所有的残疾人 4 世界上所有的数学家 5 某植物园的所有植物 6 天安门广场所有的路灯和树

1.1.3 集合的符号表示

N代表自然数集（非负整数集）,而N*则表示正整数集,英文是natural number Z表示整数集,来自于德语,德语中的整数叫做Zahlen Q表示的是有理数集,由于两个数之比(商)叫做有理数,商的英文是quotient,所以用Q来表示 R表示集合理论中的实数集,而复数中的实数部分也以此符号为代表,英文是real numbe

1.2 集合表示

1.2.1属于关系

alpha in A

1.2.2 枚举法

1.2.3 叙述法

A = left{x|x in Z,x < 10 right}

1.2.4 文氏图

文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

1.3 集合基数

1.3.1 什么是集合基数

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A| 若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set) 若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

1.3.2 集合基数案例

A = {a, b, c}, |A| = 3 B ={a, {b, c}},|B| = 2

1.4 集合间关系

1.4.1 空集

varnothing 不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作

. 空集可以符号化为

.

1.4.2 全集

针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.在文氏图一般使用方形表示全集。

1.4.3 集合的相等关系

1.4.4 包含关系

子集和真子集

证明集合相等 重点

设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A

n 元集的子集

1.4.5 幂集

1.5 集合的基本运算

1.5.1 并集

1.5.2 交集

1.5.3 补集

1.5.4 差集

1.5.5 对称差集

1.5.6 并集和交集的扩展

1.6 运算定律及其证明

1.6.1 运算定理

幂等率说明：

类似 1的n次幂等于1 结合律(associative laws)说明：在数学中，结合律(associative laws)是二元运算可以有的一个性质，意指在一个包含有二个以上的可结合运算子的表示式，只要算子的位置没有改变，其运算的顺序就不会对运算出来的值有影响 同一率说明:

。同一率又称为幺律，这是因为 如果存在一个元b,对任意元x，均有bx=xb=x,则称b为幺元 零率说明:

。零率又称为幺律，这是因为 在抽象代数中，如果存在一个元a,对任意元x，均有ax=xa=a,则称a为零元 德摩根率：非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q) ，非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q) 分配率的文氏图说明：

1.6.2 证明

证明方法

德摩根律证明

1.7 可数集合与不可数集合

1.7.1 自然数集的定义

定义 (皮亚诺公理)

定义 (冯 • 诺依曼的自然数定义)

1.7.2 如何比较集合的大小？

等势

1.7.3 可数集合

可数集合定义

正奇数集合 O 与素数集合 P

有理数集合 Q

从有限到无限，不仅仅是简单数量上的变化 (量变)，而引起了本质的改变 (质变)。 两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。ℵ0 表示一切可数集合的基数，是一种抽象的表达。 表面上个数完全不相等的两个集合之间仍可能存在等势关系，如集合与其真子集之间，这体现了有限集合和无限集合的根本差别。

1.7.4 不可数集合