在现代物理学课程中，我意识到了理解形状的重要性，它们为有趣的物理学提供了舞台，决定了任何物理系统的对称性和动态性。形状是任何几何物体，在物理学中，它们往往是光滑的。
这篇文章将讨论流形。流形是一种形状，在物理学中因其“友好”的特性而被反复使用。也就是说，它们允许我们在其任何地方定义一组坐标。此外，流形可以在其表面编码有用的信息。这些信息对于理解物体为什么会以这样的方式运动至关重要。
流形的使用在现代物理学中无处不在。广义相对论这样的几何密集型学科更是以深入研究流形为基础，粒子物理学中也经常出现流形的身影。
但是，首先，我们要谈的是最直接的形状——开放空间。
我们在高中学习的物理学可能涉及最基本的形状——开放空间。当我们说开放空间时，指的是一个延伸到无限大的二维或三维空间。在三维的情况下，这就像一个宇航员在太空中，周围什么都没有。这种开放空间被称为 "欧几里得空间"。数学家称二维开放空间为R^2，三维开放空间为R^3。R代表实数，而2或3代表在空间中定位一个位置需要的坐标数。
被称为欧氏空间，是因为因为我们可以很容易地用欧氏度规测量任意两点之间的距离。例如，如果A点和B点之间的距离是x轴上的x，y轴上的y和z轴上的z，那么这两点之间距离的平方就是x^2 y^2 z^2。
欧氏空间的概念对我们至关重要，因为数学家可以通过它很容易构建一套坐标，唯一地定义空间中任何一点的位置。
什么是流形？
上面的问题把我们带到了流形的话题。流形是一种几何形状，在局部，它看起来像一维、二维、三维或任何维度的 "开放空间"。局部这个词与全局相对，后者意味着 "作为一个整体来看"。局部和全局之间的这种区别是至关重要的，我将通过一个例子说明。
一个站在球体表面的人的例子是最简单的。我们知道，球体作为一个整体看起来并不像一个开放的空间，所以从全局来看，它看起来并不像R^2或R^3。然而，当我们看一个具体的点时，这个结论是否仍然正确呢？我们在地球上，周围的空间似乎很平坦。如果环顾四周，看起来我就像站在一个平坦的二维表面上，这就是为什么最初很容易相信世界是平的。所以，在局部，在球体的任何一点周围的区域，看起来像R^2。因此，在三维空间中，流形M是一个形状，从一个站在其表面的生物的角度看，它看起来像一个 "平面"。
在这个流形上的每一个 "邻域"，一些映射将一个点周围的区域变得像一个开放空间。如果这个开放空间的维度为n，那么一个物体就被称为n维流形。例如，虽然球体是一个三维物体，但其表面上任何一点的平坦区域在局部看来只像一个二维的平面。因此，我们说，球面是一个二维流形。同样地，一个圆周看起来像一个一维流形，因为圆周的任何局部看起来都像一条线。
在地球上的任何一点，我都可以构建一个局部的坐标集。
为什么要花大力气去定义这样一个对象呢？能够将局部区域映射到开放空间，使我们能够坚持一套坐标来确定自己的方向。例如，我现在在上海某个位置。如果我想去北京旅游，我可以拿出一张地图，地图有一个坐标系统，告诉我怎么到达北京。这种在地球上任意一点定义坐标的特点使球体成为流形。
有很多不是流形的例子。例如，以一个正方体为例。虽然立方体上的面在局部上像R^2，但在立方体的四角有一个问题。如果你碰巧站在四角，就没有办法顺利地构建一个坐标系，使这个形状看起来像一个平面空间。
在数学中，有大量关于确定一个对象何时为流形的研究。同样，这也很重要，因为我们经常需要了解在物理学中何时可以放置一组坐标。例如，数学中有一连串的证明和嵌入定理，决定了空间中的一条曲线是否是一个“合法”的流形。这些问题启发了纳什嵌入定理。
我们能用流形做什么？李群和切线矢量（Lie Groups and Tangent Vectors）
能够在不同的点上定义坐标的意义是什么？在数学和物理中有一些东西是无法做到的除非在某一点上有一个定义“很好”的坐标系统。这就是为什么流形对我们如此重要。
在流形上的任何一点都有一个平滑的坐标系，我们就可以定义曲线和函数等对象。例如，流形上的函数就像一个'热图'。由于在任何一点上都有一个坐标系，有几个基本的数学概念现在已经得到了很好的定义。比如说：
我们可以通过验证函数是否可微来确定流形上的函数是否光滑。我们还可以定义 "切（线）空间"。例如，在球体图中，切线空间是附着在表面一侧的矩形。它代表了表面上的蚂蚁会经历的空间。切线空间是广义相对论和经典力学的现代表述中使用的基本构件，用于理解物体如何从流形中的一点自然流向另一点。此外，物理学中还有一些对称结构，它们本身也是流形。这些被称为李群。李群背后的概念实际上是相当简单的。李群是描述平滑变换的数学对象。例如，一个物体的旋转的对称群是一个李群，因为旋转是一个 "平滑 "的变换。所谓平滑，是指我可以将一个物体旋转一丁点。另一方面，像反射这样的变换并没有与之相关的平滑性属性。因此，你不能 "只反射一丁点 "。
现在，李群是流形的原因要更微妙一些。想一想旋转一个物体，我可以旋转一个给定的度数。度数是在0到360之间。度数也是我需要的确切信息量，可以确定一个圆上的特定位置。但是圆本身也是一个流形！这个流形是什么？
这种将对称群与特定形状相识别的做法是使李群变得独特的原因。因此，在研究粒子物理学的对称结构时，它们是最重要的。一种特定类型的李群，称为半单李群（semi-simple Lie groups）。事实证明，我们可以将所有有限的半单李群分成四个无限的族，分别表示为An、Bn、Cn、Dn，其中n∈N。
李群是一组连续变换，它平滑地依赖于n个给定的参数。因为它需要n个参数来定义这组变换，我们也可以把它解释为n维流形。
流形的分类
数学家们喜欢对不同的数学对象进行分类。分类很有帮助，因为它可以帮助我们确定哪些形状或流形是真正不同的。我们可以通过流形的一些拓扑学属性来进行分类。拓扑属性是一种类型的属性，它只是一个给定形状的 "固有 "属性。我将在下面概述它们：
连通性是指我们可以从流形的任何地方到任何其他点构建一条平滑的路径的属性。因此，举例来说，一个球是连通的，但是一个集合的点在两个球体上的流形就不是连通的了。单连通性与连通性有着微妙的不同。它来自同伦群的概念。如果一个空间表面的任何环路都可以连续变形为一个点，那么这个空间就是 "单连通的"。非单连通的一个例子是实心环。紧致性是指我们可以用有限的子集覆盖一个空间。通俗地说，这意味着该物体不是 "无限的"，就像普通的开放空间。例如，一个球体是紧凑的。另一方面，一条无限的线，它本身就是一个流形，不是紧致的。这个条件相当于说，如果我们在R^3中嵌入空间，子集是封闭和有界的。所以，举例来说，R上的二次曲线不是一个紧致流形，因为它不是有界的。我希望这篇文章能很好地介绍什么是流形，以及流形在现代物理学中的应用。
