【集合论】偏序关系 ( 偏序关系定义 | 偏序集定义 | 大于等于关系 | 小于等于关系 | 整除关系 | 包含关系 | 加细关系 )

2023-03-27 16:16:37 浏览数 (1)

文章目录

  • 一. 偏序关系
    • 1. 偏序关系定义
      • ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )
      • ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )
    • 2. 偏序集定义
      • ( 1 ) 偏序集定义
  • 二. 偏序关系 示例
    • 1. 小于等于关系
      • ( 1 ) 小于等于关系 说明
      • ( 2 ) 小于等于关系 分析
    • 2. 大于等于关系
      • ( 1 ) 大于等于关系 说明
      • ( 2 ) 大于等于关系 分析
    • 3. 整除关系
      • ( 1 ) 整除关系 说明
      • ( 2 ) 整除关系 分析
    • 4. 包含关系
      • ( 1 ) 包含关系 说明
      • ( 2 ) 包含关系 分析
    • 5. 加细关系
      • ( 1 ) 加细关系 说明
      • ( 2 ) 加细关系 分析

一. 偏序关系

1. 偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

偏序关系 定义 :

  • 1.前置条件 1 :
A not= varnothing

, 并且

R subseteq A times A

;

  • 2.前置条件 2 : 如果
R

是 自反 , 反对称 , 传递的 ;

  • ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 ,
xRx

;

  • ② 反对称 : 如果
xRy

并且

yRx

则

x=y

, 即

x not=y

,

xRy

和

yRx

不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;

  • ③ 传递 : 如果 有
xRy

,

yRz

, 那么必须有

xRz

, 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;

  • 3.结论 : 称
R

为

A

上的偏序关系 ;

  • 4.表示 : 使用
preceq

表示偏序关系 ;

  • 5.读法 :
preceq

读作 "小于等于" ;

  • 6.使用公式表示 :
<x, y> in R Longleftrightarrow xRy Longleftrightarrow x preceq y
  • 7.公式解读 : 如果
x

,

y

两个元素 构成 有序对

<x,y>

, 并且在偏序关系

R

中 ,

x

和

y

具有

R

关系 , 也可以写成

x

小于等于 ( 偏序符号 )

y

;

  • 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非
0

自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;

( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )

偏序关系 与 等价关系 :

  • 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;
  • 2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;
  • 3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,

2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

偏序集 定义 :

  • 1.前置条件 1 :
preceq

是

A

上的 偏序关系 ;

  • 2.结论 :
<A , preceq>

是偏序集 ;

  • 3.解读 : 集合
A

与 偏序关系

preceq

构成的有序对 , 称为 偏序集 ;

二. 偏序关系 示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系 说明

偏序集示例 1 ( 小于等于关系

leq

是 偏序关系 ) :

  • 1.公式表示 :
varnothing not= A subseteq R , <A , leq >
  • 2.语言描述 : 如果
A

是 实数集

R

的 子集 , 并且

A

不能 是 空集

varnothing

, 集合

A

中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;

  • 3.使用集合形式表示关系 :
leq = { <x,y> | x,y in A land x leq y }

( 2 ) 小于等于关系 分析

实数集

A

上的 小于等于关系 (

leq

) 分析 :

  • 1.自反性质分析 :
x

小于等于

x

,

x leq x

, 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;

  • 2.反对称性质分析 :
x

小于等于

y

,

y

小于等于

x

, 推出

x = y

, 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,

  • 3.传递性质分析 :
x

小于等于

y

,

y

小于等于

z

,

x

小于等于

z

, 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;

  • 4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ;

2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系 说明

偏序集示例 2 ( 大于等于关系

geq

是 偏序关系 ) :

  • 1.公式表示 :
varnothing not= A subseteq R , <A , geq >
  • 2.语言描述 : 如果
A

是 实数集

R

的 子集 , 并且

A

不能 是 空集

varnothing

, 集合

A

中的 大于等于关系 (

geq

) , 是偏序关系 ;

  • 3.使用集合形式表示关系 :
geq = { <x,y> | x,y in A land x geq y }

( 2 ) 大于等于关系 分析

实数集

A

上的 大于等于关系 (

geq

) 分析 :

  • 1.自反性质分析 :
x

大于等于

x

,

x geq x

, 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;

  • 2.反对称性质分析 :
x

大于等于

y

,

y

大于等于

x

, 推出

x = y

, 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,

  • 3.传递性质分析 :
x

大于等于

y

,

y

大于等于

z

,

x

大于等于

z

, 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;

  • 4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ;

3. 整除关系

( 1 ) 整除关系 说明

偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) :

  • 1.公式表示 :
varnothing not= A subseteq Z_ = { x | x in Z land x > 0 }<A , | >
  • 2.语言描述 : 如果
A

是 正整数集

Z_

的 子集 , 并且

A

不能 是 空集

varnothing

, 集合

A

中的 整除关系 (

|

) , 是偏序关系 ;

  • 3.使用集合形式表示关系 :
|= { <x,y> | x,y in A land x | y }
  • 4.整除关系 :
x|y

,

x

是

y

的因子 , 或

y

是

x

的倍数 ;

( 2 ) 整除关系 分析

正整数集

A

上的 整除关系 (

|

) 分析 :

  • 1.自反性质分析 :
x

整除

x

,

x | x

, 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;

  • 2.反对称性质分析 :
x

整除

y

,

y

整除

x

, 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出

x = y

, 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,

  • 3.传递性质分析 :
x

整除

y

,

y

整除

z

,

x

整除

z

, 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;

  • 4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ;

4. 包含关系

( 1 ) 包含关系 说明

偏序集示例 4 ( 包含关系

subseteq

是 偏序关系 ) :

  • 1.公式表示 :
mathscr{A} subseteq P(A) , subseteq = {<x , y> | x , y in mathscr{A} land x subseteq y }
  • 2.语言描述 : 集合
A

上的幂集合

P(A)

,

P(A)

的子集合 构成 集族

mathscr{A}

, 该集族

mathscr{A}

上的包含关系 , 是偏序关系 ;

( 2 ) 包含关系 分析

分析 集合的 子集族 之间的包含关系 :

① 假设一个比较简单的集合

A={a, b}

② 分析 下面

A

的 3 个子集族 ;

mathscr{A}_1 = { varnothing , {a} , {b} }

集族

mathscr{A}_1

包含 空集

varnothing

, 单元集

{a}

, 单元集

{b}

;

mathscr{A}_2 = { {a} , {a, b} }

集族

mathscr{A}_2

包含 单元集

{a}

, 2 元集

{a, b}

;

mathscr{A}_3 = P(A) = { varnothing , {a} , {b} , {a, b} }

集族

mathscr{A}_3

包含 空集

varnothing

, 单元集

{a}

, 单元集

{b}

, 2 元集

{a, b}

; 这是 集合

A

的 幂集 ;

③ 列举出集族

mathscr{A}_1

上的包含关系 :

subseteq_1 = I_{mathscr{A}1} cup { <varnothing , {a}> , <varnothing , {b}> }
subseteq_1

是集合

mathscr{A}1

上的偏序关系 ;

即 分析 空集

varnothing

, 单元集

{a}

, 单元集

{b}

三个 集合之间的包含关系 :

  • 1.恒等关系
I_{mathscr{A}1}

:

<{a} , {a}> 和 <{b} , {b}>

, 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;

  • 2.
<varnothing , {a}>

: 空集 肯定 包含于 集合

{a}

;

  • 3.
<varnothing , {b}>

: 空集 肯定 包含于 集合

{b}

;

  • 4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 :
    • ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 ,
    A subseteq A

    , 包含关系具有 自反性质 ;

    • ② 反对称 : 如果 集合
    A subseteq B

    ,

    B subseteq A

    , 那么

    A = B

    , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;

    • ③ 传递 : 如果
    A subseteq B

    , 并且

    A subseteq C

    , 那么有

    A subseteq C

    , 包含关系 具有传递性质 ;

④ 列举出集族

mathscr{A}_2

上的包含关系 :

subseteq_2 = I_{mathscr{A}2} cup { <{a} , {a, b}>
subseteq_2

是集合

mathscr{A}2

上的偏序关系 ;

⑤ 列举出集族

mathscr{A}_3

上的包含关系 :

subseteq_3 = I_{mathscr{A}3} cup { <varnothing , {a}> , <varnothing , {b}>, <varnothing , {a, b}> , <{a} , {a, b}> , <{b} , {a, b}> }
subseteq_3

是集合

mathscr{A}_3

上的偏序关系 ;

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系 说明

偏序集示例 5 ( 加细关系

preceq_{加细}

是 偏序关系 ) :

  • 1.加细关系描述 :
A not= varnothing

,

pi

是 由

A

的 一些划分 组成的集合 ;

preceq_{加细} = {<x , y> | x , y in pi land x 是 y 的 加细}
  • 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合
A

的元素 ;

  • ① 该集族不包含空集 ;
  • ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
  • ③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合
A

;

( 2 ) 加细关系 分析

分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 :

① 集合

A = {a, b, c}

, 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ;

② 下面 列出集合

A

的 5 个划分 :

划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;

mathscr{A}_1 ={ { a, b, c } }

划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

mathscr{A}_2 = { { a } , { b, c } }

划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

mathscr{A}_3 = { { b } , { a, c } }

划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

mathscr{A}_4 = { { c } , { a, b }}

划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类

mathscr{A}_5 = { { a } , { b }, { c } }

③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 :

集合 1 :

pi_1 = { mathscr{A}_1, mathscr{A}_2 }

集合 2 :

pi_2 = { mathscr{A}_2, mathscr{A}_3 }

集合 3 :

pi_3 = { mathscr{A}_1, mathscr{A}_2, mathscr{A}_3, mathscr{A}_4, mathscr{A}_5 }

④ 集合

pi_1

上的加细关系分析 :

  • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有
I_{pi 1}

,

<mathscr{A}_1 , mathscr{A}_1>

,

<mathscr{A}_2 , mathscr{A}_2>

;

  • 2.其它加细关系 :
mathscr{A}_2

划分中的 每个划分块 , 都是

mathscr{A}_1

划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有

mathscr{A}_2

是

mathscr{A}_1

的加细 , 记做

<mathscr{A}_2, mathscr{A}_1>

;

  • 3.加细的定义 :
mathscr{A}_1

和

mathscr{A}_2

都是集合

A

的划分,

mathscr{A}_2

中的 每个划分块 , 都含于

mathscr{A}_1

中的某个划分块中 , 则称

mathscr{A}_2

是

mathscr{A}_1

的加细 ;

- 4.加细关系列举 :

preceq_1 = I_{pi 1} cup { <mathscr{A}_2, mathscr{A}_1> }

⑤ 集合

pi_2

上的加细关系分析 :

  • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有
I_{pi 2}

,

<mathscr{A}_3 , mathscr{A}_3>

,

<mathscr{A}_2 , mathscr{A}_2>

;

  • 2.其它加细关系 :
mathscr{A}_2

和

mathscr{A}_3

这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

- 4.加细关系列举 :

preceq_2 = I_{pi 2}

⑥ 集合

pi_3

上的加细关系分析 :

  • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有
I_{pi 3}

,

<mathscr{A}_1 , mathscr{A}_1>

,

<mathscr{A}_2 , mathscr{A}_2>

,

<mathscr{A}_3 , mathscr{A}_3>

,

<mathscr{A}_4 , mathscr{A}_4>

,

<mathscr{A}_5 , mathscr{A}_5>

;

  • 2.其它加细关系 :
    • ① 与
    mathscr{A}_5

    划分相关的加细 :

    mathscr{A}_5

    是划分最细的 等价关系 ,

    mathscr{A}_5

    是其它所有 划分 的加细 , 因此有

    <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_4>

    ,

    <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_3>

    ,

    <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_2>

    ,

    <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_1>

    ;

    • ② 与
    mathscr{A}_1

    划分相关的加细 :

    mathscr{A}_1

    是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是

    mathscr{A}_1

    的加细 , 因此有

    <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_1>

    ,

    <mathscr{A}_4 , mathscr{A}_1>

    ,

    <mathscr{A}_3 , mathscr{A}_1>

    ,

    <mathscr{A}_2 , mathscr{A}_1>

    ;

  • 4.加细关系列举 :
preceq_3 = I_{pi 3} cup { <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_4> , <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_3> , <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_2> , <mathscr{A}_5 , mathscr{A}_1> , <mathscr{A}_4 , mathscr{A}_1>, <mathscr{A}_3 , mathscr{A}_1>, <mathscr{A}_2 , mathscr{A}_1> }
集合

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