【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )

2023-03-27 16:18:26 浏览数 (1)

文章目录

    • 1. 加法原则
      • ( 1 ) 加法原则 ( 不能叠加 的事件才能用 加法原则 | 适用于 分类选取 )
      • ( 2 ) 乘法法则 ( 相互独立 的 事件 才能用 乘法法则 | 适用于 分步选择 )
    • 2. 习题解析
      • ( 1 ) 习题 1 ( 加法原理 )
      • ( 2 ) 习题 2 ( 加法原则 乘法原则 综合运用 )
      • ( 3 ) 习题 3 ( 乘法原则 )

1. 加法原则

( 1 ) 加法原则 ( 不能叠加 的事件才能用 加法原则 | 适用于 分类选取 )

加法原则 :

  • 1.加法法则描述 : 事件
A

有

m

种 产生方式 , 事件

B

有

n

种 产生方式 , 则 " 事件

A

或

B

" 有

m n

种产生方式 ;

  • 1.加法法则推广 : 设 事件
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}

分别有

p_{1} , p_{2} , ... , p_{n}

种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 不重叠 , 则 " 事件

A_{1}

或

A_{2}

或 … 或

A_{n}

" 产生的方式 是

p_{1} p_{2} ... p_{n}

种 ;

  • 2.注意点 : 这里的 事件
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}

必须是 不能重叠的 , 即 只有 一件 事件 发生 , 如果有多个 事件 同时发生 , 就必须 使用 乘法原则 ;

  • 3.适用问题 : 分类选取 ;

( 2 ) 乘法法则 ( 相互独立 的 事件 才能用 乘法法则 | 适用于 分步选择 )

乘法原则 :

  • 1.乘法法则描述 : 事件 A 有 m 种 产生方式 , 事件 B 有 n 种 产生方式 , 则 " 事件 A 与 B " 有 mn 种产生方式 ;
  • 1.乘法法则推广 : 设 事件
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}

分别有

p_{1} , p_{2} , ... , p_{n}

种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 相互独立 , 则 " 事件

A_{1}

或

A_{2}

或 … 或

A_{n}

" 产生的方式 是

p_{1} p_{2} ... p_{n}

种 ;

  • 2.注意点 : 这里的 事件
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}

必须是 相互独立 的 ;

  • 3.适用问题 : 分步选取 ;

2. 习题解析

( 1 ) 习题 1 ( 加法原理 )

题目 :

汽车市场 有 卡车 15 辆 , 面包车 8 辆 , 轿车 20 辆 ; 从市场中只购买一辆车 , 有多少种购买方式 ?

解答 :

① 这里用到了 加法原则 , 如果只能 买 一辆车的话 , 三种车 只能买一种 , 三个事件 是不能重叠的 ;

② 买卡车 有 15 种方式 , 买面包车 有 8 种方式 , 买轿车 有 20 种 , 三种方式只能选择一种 , 三者不能重叠 ( 同时存在 ) , 因此使用加法原则 进行计算 ;

③ 结果是 : 15 8 20 = 43 ;

( 2 ) 习题 2 ( 加法原则 乘法原则 综合运用 )

设

A , B , C

是 3 个城市 , 从

A

到

B

有 3 条路 , 从

B

到

C

有 2 条路 , 从

A

到

C

有

4

条路 , 问 从

A

到

C

有多少种不同的方式 ?

解 :

加法原则 : ① 直接从

A

到

C

与 ② 从

A

先到

B

再到

C

是 不能重叠的 , 方案 ① 与 方案 ② 需要 用家法原则 ,

乘法原则 : 方案 ② 内部需要使用 乘法原则 即

A

到

B

有 3 种 选择 ,

B

到

C

有 2 种选择 , 这两个选择是相互独立的 , 需要分步 选择 ,

3 * 2 = 6

种 ;

最终

N = 3 times 2 4 = 10

;

( 3 ) 习题 3 ( 乘法原则 )

题目 :

从

1000

到

9999

的 整数 中 :

① 含有5的数有多少个 ; ② 含有多少个 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 ; ③ 各位数 都不相同 的 奇数 有多少个;

解答 :

( 1 ) 含有 5 的数 的个数 :

① 设 数字 集合

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

② 直接求 含有

5

的数 , 比较麻烦 : 这里可以分成

1

位 含有

5

的数 , 此时又分成 个位 十位 百位 千位 四种情况 ,

2

位 或

3

位 含有

5

更加复杂 ;

③ 这里 可以 转换一下思路 , 求 不含 5 的个数 :

  • 1> 千位 : 千位数 不能 取
0

和

5

, 只能取值

8

种情况 ;

  • 2> 百位 : 百位数 不能 取
5

, 有

9

种 取值情况 ;

  • 3> 十位 : 百位数 不能 取
5

, 有

9

种 取值情况 ;

  • 4> 个位 : 百位数 不能 取
5

, 有

9

种 取值情况 ;

根据乘法原则 : 不含

5

的个数位为

8 times 9times 9times 9 = 5832

含有 5 的个数为 :

9000 - 5832 = 3168

;

( 2 ) 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 :

分析 四位 数 取值方案数 :

  • 1> 个位数取值方案数 : 考虑偶数的情况 : 如果为 偶数 , 那么 个位数 只能取值
{0, 2, 4 , 6, 8}

这

5

种情况 ;

  • 2> 十位数 和 百位数 取值 方案数 : 十位数 百位数 都是 奇数 , 那么 其 取值
{1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

, 也是

5

种方案 ;

  • 3> 千位数 取值 方案数 :
{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

, 有

9

种方案 ;

根据 乘法 原则 : 百位 和 十位 均为 奇数 的 偶数 有

9 times 5 times 5 times 5 = 1125

个 ;

( 3 ) 各位数 都不相同 的 奇数 个数 :

逐位分析 :

  • 1> 分析 个位数 取值 : 个位数 如果不做限制的话 , 有
10

种方案数

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

, 要求 是 奇数 , 因此 个位数 只有

5

中方案 , 只能从

{1,3,5,7,9}

中取值 ;

  • 2> 分析 千位 的取值 : 千位数 不做限制的话 有
9

种方案

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}

, 如果要求 与 个位数不同 , 那么有

8

种方案 ;

  • 3> 分析 百位 数取值 : 百位数 如果不做限制的话 , 有
10

种方案数

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

, 千位 与 个位 各自 取了 一位数 , 那么只能下

8

种 方案数 ;

  • 4> 分析 十位 数取值 : 十位数 如果不做限制的话 , 有
10

种方案数

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

, 千位 , 个位 与 百位 各自 取了 一位数 , 那么只能下

7

种 方案数 ;

根据乘法原则 :

1000

到

9999

的整数中 , 各个位数 都 不相同的 奇数 有

5 times 8 times 7 times 7 = 2240

个 ;

每一位分析的先后顺序很有讲究 , 一般先分析 条件限制比较苛刻的 选择 , 在分析 比较宽松的选择 ; 关于一一对应 的说明 : 如果 性质

A

的 计数 比较困难 , 性质

B

的计数比较容易 , 性质

A

和 性质

B

存在一一对应 , 那么对性质

A

的计数 , 可以转化为 对 性质

B

的计数 ; 这里用到了 一一对应 , 如 上述 , 计数 含有

5

的整数个数 , 如果正面计数比较困难 , 可以反过来 计算 不含有

5

的整数个数 , 这样就比较好计数了 ,

1000

到

9999

一共有

9000

个数 ,

9000 - 不含5的整数个数

与 含有

5

的整数个数 是一一对应的 ; 常用的一一对应 : ① 选取问题 ② 不定方程非负整数解问题 ③ 非降路径问题 ④ 正整数拆分问题 ⑤ 放球问题

汽车 集合 事件 数学 原理

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