【集合论】等价关系个数计算问题 ( 有序对个数计算 | 二元关系个数计算 | 划分 | 等价关系 )

2023-03-27 16:21:03 浏览数 (1)

文章目录

        • 等价关系与划分对应问题
        • 第二类斯特林数计算公式
        • 4元集等价关系计算
        • 6元集等价关系计算
等价关系与划分对应问题

等价关系 与 划分 计算 :

  • 1.等价关于 与 划分 一一对应 : 非空集合
A

上的等价关系 与

A

上的划分是 一一对应 的 ; (

A

上有多少个 不同的 等价关系 , 就产生同样个数的不同的划分 )

  • 2.数学模型 : 将
n

个不同的球 , 放入

r

个相同的盒子中 , 并且不能出现空盒 ,

n geq r

; 不同的放球方法对应不同的划分数 ;

  • 3.第二类 Stirling 数 : 将
n

个不同的球, 放入

r

个相同的盒子中 , 方案数记做

S(n,r)

, 或

begin{Bmatrix} n \ r end{Bmatrix}

;

第二类斯特林数计算公式

第二类 Stirling 数计算方法 :

  • 1.Stirling 数计算公式 :
    • ①
    S(n,0) = 0
    • ②
    S(n,1) = 1
    • ③
    S(n,2) = 2^{n-1} - 1
    • ④
    S(n,n-1) = C(n, 2)
    • ⑤
    S(n,n) = 1
  • 2.Stirling 数递推公式 :
S(n,r) = rS(n-1, r) S(n-1, r-1)
4元集等价关系计算

题目 : 等价关系

  • 条件 : 集合
A = {a,b,c,d}

;

  • 问题 : 上述集合有多少等价关系 ;

解答 :

分析 :

  • 1.有序对个数 : 集合
A

上有

4 times 4 = 16

个有序对 ;

  • 2.二元关系个数 : 集合
A

上的 二元关系 个数 是

2^{有序对个数} = 2^{16}

个 ;

  • ① 公式推演 : 每个二元关系有
0

到

16

个不等的有序对个数 , 分别统计 有

0

个有序对 ,

1

个有序对 ,

2

个有序对 ,

cdots

,

16

个有序对的 情况 ;

  • ② 计算过程 :
C(16, 0) C(16, 1) C(16,2) cdots C(16, 16) = 2^{16}

;

  • 3.无法直接得出等价关系数 :
A

上有

2^{16}

个二元关系 , 逐个验证 等价关系 要求的 自反 , 对称 , 传递 性质 , 肯定行不通 , 计算量巨大 ;

  • 4.求划分个数 : 集合
A

的 等价关系个数 与 划分个数 是一一对应的 , 因此求其划分个数即可 ;

分步求解 :

① 使用 第二类 Stirling 求其不同的划分个数 :

S(4, 1) S(4, 2) S(4, 3) S(4, 4)

② 根据公式 :

S(n,1) = 1

, 计算 Stirling 数的值 :

S(4, 1) = 1

③ 根据公式 :

S(n,2) = 2^{n-1} - 1

, 计算 Stirling 数的值 :

S(4, 2) = 2^{4 - 1} - 1 = 2^3 -1=7

④ 根据公式1 :

S(n,n-1) = C(n, 2)

( Stirling 数计算公式 ) , 根据公式2 :

C(n, r) = cfrac{n!}{(n-r)!r!}

, 计算 Stirling 数的值 :

S(4, 2) = C(4,2) =dbinom{4}{2} =cfrac{4!}{(4-2)!2!} = cfrac{4 times 3 times 2 times 1}{2 times 2} = 6

⑤ 根据公式 :

S(n,n) = 1

, 计算 Stirling 数的值 :

S(4, 4) = 1

⑥ 最终划分结果 :

A

上有 15 个划分 ;

S(4, 1) S(4, 2) S(4, 3) S(4, 4) = 1 7 6 1 = 15
6元集等价关系计算

题目 :

  • 条件 :
A={1,2,3,4,5,6}
  • 问题 : 计算
A

上的 二元关系 的 个数 和

A

上等价关系的个数 ;

解答 :

二元关系个数 :

  • 1> 集合元素个数 : 集合
A

中有

6

个元素 ,

|A| = 6

;

  • 2> 有序对个数 :
|A| times |A| = 6 times 6 = 36

;

  • 3> 二元关系个数 :
    • ① 推演过程 : 二元关系 包含
    0

    到

    36

    不等的有序对 , 那么需要考虑以上所有情况 , 分别统计 有

    0

    个有序对 ,

    1

    个有序对 ,

    2

    个有序对 ,

    cdots

    ,

    36

    个有序对的 情况 ;

    • ② 计算公式 :
    C(36, 0) C(36, 1) C(36,2) cdots C(36, 36) = 2^{36}

等价关系个数 :

  • 1> 一一对应 : 等价关系的个数 与 集合的划分数 是一一对应的 ,
  • 2> 进行划分 : 将 集合
A

划分成

1

块 ,

2

块,

3

块,

4

块,

5

块,

6

块 ;

  • 3>写出对应式子 : 集合的划分数为
S(6, 1) S(6, 2) S(6, 3) S(6, 4) S(6, 5) S(6, 6)

逐个求出

S(6, 1) S(6, 2) S(6, 3) S(6, 4) S(6, 5) S(6, 6)

每个 Stirling 数的值 ;

① 根据公式 :

S(n,1) = 1

, 计算 Stirling 数的值 :

S(6, 1) = 1

② 根据公式 :

S(n,2) = 2^{n-1} - 1

, 计算 Stirling 数的值 :

S(6, 2) = 2^{6-1} - 1 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31

③ 根据递推公式 :

S(n,r) = rS(n-1, r) S(n-1, r-1)

, 计算 Stirling 数的值 :

S(6, 3) = 3S(5,3) S(5,2)

拆分成下面两部 进行计算 :

( 1 ) 先计算

S(5, 3) = 3S(4,3) S(4,2)
  • 1> 其中 使用公式
S(n, n-1) = C(n,2)

计算

S(4,3)

:

S(4,3) = C(4,2) = dbinom{4}{2} = cfrac{4!}{(4-2)! times 2!} = cfrac{4 times 3 times 2 times 1}{2 times 2} = 6

  • 2> 使用公式
S(n, 2) = 2^{n-1} - 1

计算

S(4,2)

:

S(4,2) = 2^{4-1} - 1 = 7

  • 3>
S(5, 3)

结果 :

S(5, 3) = 3S(4,3) S(4,2) =3times 6 7 =25

( 2 ) 在计算

S(5,2)

的结果 , 使用公式

S(n, 2) = 2^{n-1} - 1

进行计算 :

S(5, 2) = 2^{5-1} - 1 =15

( 3 ) 最终结果 :

S(6, 3) = 3S(5,3) S(5,2) = 3times25 15 =90

④ 根据递推公式 :

S(n,r) = rS(n-1, r) S(n-1, r-1)

, 计算 Stirling 数的值 :

S(6, 4) = 4S(5,4) S(5,3) = 4times C(5,2) 25 = 4times cfrac{5!}{3!times2!} 25 = 4times cfrac{5times4times3times2}{3times2times2} 25=65

⑤ 根据公式 :

S(n, n-1)= C(n,2)

, 计算

S(6,5)

:

S(6,5) = C(6,2) = cfrac{6!}{(6-2)! times2!} = cfrac{6times5times4times3times2}{4times3times2 times2} =15

⑥ 根据公式 :

S(n, n) = 1

, 计算

S(6,6)

;

S(6,6) = 1

⑦ 将上面计算的

6

个斯特林数相加 , 得到的结果 :

S(6, 1) S(6, 2) S(6, 3) S(6, 4) S(6, 5) S(6, 6) = 1 31 90 65 15 1 =203
集合 统计

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