【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )

2023-03-27 16:28:28 浏览数 (1)

文章目录

        • 群的定义
        • 群的分类
        • 群的证明方法
        • 交换群的证明方法
        • 数集回顾
        • 群的证明
群的定义

群 的 定义 : 一个 非空 集合

G

中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合

G

称为 群 ;

  • 1. 封闭性 :
    • 1> 符号表示 :
    forall a,b in G , a times b = c in G
    • 2> 自然语言描述 : 非空集合
    G

    中任意两个元素

    a,b

    相乘, 其结果

    c

    也是 集合

    G

    中的元素 ;

  • 2. 结合律 :
    • 符号表示 :
    forall a,b, c in G , a times ( b times c ) = (a times b) times c

    ;

  • 3. 有单位元 :
    • 1> 符号表示 :
    exist e in G, forall a in G, e times a = atimes e = a
    • 2> 自然语言描述 : 存在一个
    e

    , 乘以

    a

    , 或者 与

    a

    相乘 , 其结果都是

    a

    , 相当于

    1

    ;

  • 4. 每个元
a

有逆元

a^{-1}

:

  • 1> 符号表示 :
exist e in G, forall a in G, exist a^{-1} in G, a^{-1} times a = a times a^{-1} = e

,

  • 2> 自然语言描述 :
e

是之前的 单位元 ( 类似于

1

) ,

a

与

a

的逆 相乘 , 结果是单位元

e

;

注意 : 这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;

G times G

构成代数结构可以表示成

( G , cdot )
群的分类

群 的 分类 :

  • 1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;
  • 2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;
  • 3.群 的 阶 : 群
G

含有的元素个数叫群的阶 , 记做

|G|

;

  • 4.有限群 :
|G|

是 有限的 , 叫做 有限群 ;

  • 5.无限群 :
|G|

是 无限的 , 叫做 无限群 ;

群的证明方法

群的证明方法 : 给定一个 集合

G

和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

  • 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
  • 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
  • 3.证明结合律 : 集合中
a

与

b

和

c

进行二元运算 , 其结果 与

a

和

b

与

c

进行运算结果相同 ;

  • 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个
e

元素 ,

a

与

e

和

e

与

a

运算 结果都是

a

; 相当于乘法中的

1

或 加法中的

0

;

  • 5.证明其逆元 :
a

与

a^{-1}

或者

a^{-1}

与

a

进行运算 , 其结果是

e

单位元 ;

满足以上

4

个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

交换群的证明方法

在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;

数集回顾

数集 及 表示方法 :

  • 1.整数 :
Z

, 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;

  • 2.正整数 :
Z^ ,N^*,N^

, 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;

  • 3.负整数 :
Z^-

, 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;

  • 4.非负整数 :
N

, 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;

  • 5.有理数 :
Q

, 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;

  • 6.实数集 :
R

, 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;

  • 7.虚数 :
I

, 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;

  • 8.复数 :
C

, 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;

有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ; 实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ; 虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;

数集中的常用上标 用法 :

  • 1.正数 :
^

表示该数集中元素全为 正数 ;

  • 2.负数 :
^-

表示该数集中的元素全为 负数 ;

  • 3.剔除
0

元素 :

^*

表示剔除该数集上的元素

0

;

R^*

表示剔除 实数集

R

中的 元素

0

,

R^* = R setminus {0} = R^- cup R^ = (- infty , 0) cup (0, infty)
群的证明

题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;

证明方法 : 给定一个 集合

G

和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

  • 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
  • 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
  • 3.证明结合律 : 集合中
a

与

b

和

c

进行二元运算 , 其结果 与

a

和

b

与

c

进行运算结果相同 ;

  • 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个
e

元素 ,

a

与

e

和

e

与

a

运算 结果都是

a

; 相当于乘法中的

1

或 加法中的

0

;

  • 5.证明其逆元 :
a

与

a^{-1}

或者

a^{-1}

与

a

进行运算 , 其结果是

e

单位元 ;

满足以上

4

个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

证明 :

① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ; ② 结合律 :

3

个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ; ③ 证明单位元 : 存在

e=1

, 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ; ④ 证明逆

a^{-1}

的存在 : 集合中的任意元素

a

, 其

a^{-1} = frac{1}{a}

,

a^{-1} times a = a times a^{-1} = e = 1

, 其逆元成立 ;

因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;

基础 集合

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