【组合数学 】 推广牛顿二项式 ( 牛顿二项式推广 | 推导流程 | 题目解析 )

2023-03-27 16:29:50 浏览数 (1)

文章目录

        • 牛顿二项式公式
        • 牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式
        • 推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况
        • 推导 C(-n,k) 的公式
        • 推广牛顿二项式
        • 题目解析1
        • 题目解析2
牛顿二项式公式
(1 x)^n = sum_{k=0}^{n} dbinom{n}{k}x^k
牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式

公式推导 : 使用

ax

替换

x

, 然后将公式展开即可 :

begin{array}{lcl}\ (1 ax)^n &=& sum_{k=0}^{n} dbinom{n}{k}(ax)^k \ \ \ &=& sum_{k=0}^{n} dbinom{n}{k} a^k x^k \ \ end{array}
推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况

将二项式的 幂

-n

代入到 牛顿二项式 中 :

(1 x)^{-n} = sum_{k=0}^{n} dbinom{-n}{k}x^k

( 这里一定要注意 ,

n

是正数 ,

-n

是负数 , 累加的时候 ,

k

从

0

到

n

进行累加 ) (

dbinom{-n}{k}

此时没有组合数意义 , 只是单纯的计算 )

推导 C(-n,k) 的公式

下面推导 该二项式系数

dbinom{-n}{k}

值 :

① 将

C(n, k)

展开 :

begin{array}{lcl}C(n,k) =dbinom{n}{k} &=& cfrac{n!}{(n-k)! k!}\ \ \ &=& cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) cdots ( n-k 1) (n-k) (n-k-1) cdots}{k! (n-k) (n-k -1) cdots}\ \ \ &=& cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) cdots ( n-k 1) }{k! } end{array}

② 将

C(-n, k)

对应展开 : 将

-n

代替

n

带入 :

begin{array}{lcl}C(-n,k) =dbinom{-n}{k} &=& cfrac{(-n)!}{(-n-k)! k!}\ \ \ &=& cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) cdots ( -n-k 1) (-n-k) (-n-k-1) cdots}{k! (-n-k) (-n-k -1) cdots}\ \ \ &=& cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) cdots (-n-k 1) }{k! }\ \ \ &=&cfrac{ (-1 ) ( n) (-1) (n 1) (-1) (n 2) (-1)(n 3) cdots (-1)(n k-1) }{k!} qquad[1]\ \ \ &=& (-1)^k cfrac{( n) (n 1) (n 2) (n 3) cdots (n k-1) }{k!}\ \ \ &=& (-1)^k cfrac{(n k-1) cdots(n 3) (n 2) (n 1) ( n) }{k!} \ \ \ &=& (-1)^n dbinom{n k-1}{k} end{array}

( [1] 此时分子上有

k

个

-1

相乘 , 提取出来后为

(-1)^k

)

推导结果是 :

C(-n,k) =dbinom{-n}{k} = (-1)^kdbinom{n k-1}{k}

-n

中取

k

, 结果是

(-1)^n

乘以

n k-1

中取

k

;

推广牛顿二项式

二项式的 幂 为

-n

:

(1 x)^{-n} = sum_{k=0}^{infty} dbinom{-n}{k}x^k

将之前推导出的

C(-n,k) =dbinom{-n}{k} = (-1)^kdbinom{n k-1}{k}

带入到上述公式中 :

(1 x)^{-n} = sum_{k=0}^{infty} (-1)^k dbinom{n k-1}{k} x^k

使用

-x

换元后变型 :

begin{array}{lcl}(1-x)^{-n} &=& sum_{k=0}^{infty}(-1)^k dbinom{n k-1}{k} (-1)^kx^k\ &=& sum_{k=0}^{infty} dbinom{n k-1}{k} x^k end{array}
题目解析1

题目 : 在

(1 2x)^n

展开式中 ,

x^k

系数是多少 ;

解 :

根据牛顿二项式展开式子 :

begin{array}{lcl}(1 2x)^n &=& sum_{k=0}^{infty} dbinom{n}{k}(2x)^k\ \ &=& sum_{k=0}^{infty} dbinom{n}{k}2^k x^k end{array}

结论 :

x^k

之前的系数是

2^kdbinom{n}{k}
题目解析2

题目 : 如果

(1-3x)^{-5} = sum_{k=0}^{infty}a_k x^k

, 求

a_k

;

解 :

① 使用 推广的牛顿二项式 展开 二项式 :

begin{array}{lcl}\ (1-3x)^{-5} &=& sum_{k=0}^{infty} (-1)^k dbinom{5 k - 1}{k} (-3x) ^k \ &=& sum_{k=0}^{infty} (-1)^k dbinom{5 k-1}{k} (-3)^k x^k \ &=& sum_{k=0}^{infty} 3^k dbinom{4 k}{k} x^k end{array}

② 结果为 :

a_k = 3^k dbinom{4 k}{k} = 3^k cfrac{(4 k)!}{4! k!}
数学

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