【运筹学】线性规划 单纯形法 ( 原理 | 约定符号 | 目标系数矩阵 C | 目标函数变量矩阵 X | 约束方程常数矩阵 b | 系数矩阵 A | 向量 | 向量符号 | 向量 Pj )

2023-03-27 17:31:25 浏览数 (1)

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        - [I . 单纯形法 引入](https://cloud.tencent.com/developer)
        - [II . 单纯形法 基本原理](https://cloud.tencent.com/developer)
        - [III . 线性规划 标准形式](https://cloud.tencent.com/developer)
        - [IV . 线性规划 标准形式 普通形式公式](https://cloud.tencent.com/developer)
        - [V . 线性规划 标准形式 展开完整形式公式](https://cloud.tencent.com/developer)
        - [VI . 线性规划 标准形式 矩阵形式公式 ( 矩阵 C | 矩阵 X | 矩阵 b | 矩阵 A )](https://cloud.tencent.com/developer)
        - [VII . 线性规划 标准形式 向量形式公式 ( 向量 Pj )](https://cloud.tencent.com/developer)
I . 单纯形法 引入

1. 方程组的解个数 :

  • ① 唯一解 : 如果方程组的方程个数 等于 变量的个数 , 变量的解是唯一的 ;
  • ② 多个解 : 如果方程组的方程个数 大于 变量的个数 , 变量的解可能会出现多个 ;

2. 单纯形法引入 : 在线性规划中 , 约束方程个数 , 一般情况下会小于变量个数 , 因此会有多个解 , 单纯形法就是针对这种情况求解的方法 , 可以得到符合要求的线性规划的最优解 ;

II . 单纯形法 基本原理

单纯形法原理 :

  • ① 初始单纯形 : 先从线性规划 约束方程 中找出单纯形 , 每个单纯形可以解出一组变量的解 ;
  • ② 判定趋势 ( 是否最优 ) : 然后判断这个解 影响的 目标函数的趋势 , 使目标函数增大 还是 减小 ;
  • ③ 找到更优可行解 : 根据该趋势选择下一个单纯形 , 不断迭代 , 直到找到一个单纯形 , 使目标函数达到最大值或最小值 ;

单纯形法 执行方案 :

  • ① 初始可行解 : 先找到 一个 初始可行解 , 判定其是否是最优解 , 如果是到此为止结束 ;
  • ② 判定 : 是否最优解 , 如果是 , 到此结束 ; 如果不是 , 继续执行 ③ ;
  • ③ 转化更优的可行解 : 那么按照一定法则 , 转换成另一组优化后的 可行解 , 跳转到 ② 继续判定 ;
III . 线性规划 标准形式

线性规划标准形式 : 使用单纯形法 求解 线性规划问题 , 这里要求线性规划数学模型必须是标准形式 , 有如下要求 :

  • ① 目标函数 : 变量组成的目标函数 , 求解极大值 ;
  • ② 约束方程 : 所有的约束方程都必须是等式 , 并且右侧的常数都必须 大于等于 0 ;
  • ③ 变量约束 : 所有的变量取值都必须大于等于 0 ;

线性规划标准形式转换方式 : 【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) , 参考上一篇博客内容 ;

IV . 线性规划 标准形式 普通形式公式

线性规划标准形式公式 :

n

个变量 ,

m

个约束方程 ,

n > m

变量数大于方程数 , 解有多个 ;

begin{array}{lcl}max Z = sum_{j = 1}^{n} c_j x_j \ \ s.t begin{cases} sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i & i = 1,2,cdots,m \ \ x_j geq 0 & j= 1, 2,cdots,n \ \ b_i geq 0 & i= 1, 2,cdots,m end{cases}end{array}
V . 线性规划 标准形式 展开完整形式公式

线性规划标准形式 展开式 :

n

个变量 ,

m

个约束方程 ,

n > m

变量数大于方程数 , 解有多个 ;

begin{array}{lcl}max Z = c_1 x_1 c_2 x_2 cdots c_n x_n \ \ s.t begin{cases} a_{11} x_1 a_{12} x_2 cdots a_{1n}x_n = b_1 \ \ a_{21} x_1 a_{22} x_2 cdots a_{2n}x_n = b_2 \ \ cdotscdotscdots \ \ a_{m1} x_1 a_{m2} x_2 cdots a_{mn}x_n = b_m \ \ x_1, x_2 , cdots , x_n geq 0 \ \ b_1 , b_2 , cdots , b_n geq 0 end{cases}end{array}
VI . 线性规划 标准形式 矩阵形式公式 ( 矩阵 C | 矩阵 X | 矩阵 b | 矩阵 A )

1. 线性规划标准形式 矩阵形式 :

n

个变量 ,

m

个约束方程 ,

n > m

变量数大于方程数 , 解有多个 ;

begin{array}{lcl} maxZ = CX \\ AX = b , X geq 0 end{array}

2. 矩阵

C

: 该矩阵是行向量 , 代表了目标函数中的系数 ;

C = begin{bmatrix} &c_1 , &c_2 , & cdots , & c_m & end{bmatrix}

*

3. 矩阵

X

: 该矩阵是列向量 , 表示目标函数中的变量 ;

X=begin{bmatrix}\\ x_1\\ x_2\\ vdots\\ x_m\\ end{bmatrix}

4. 矩阵

b

: 该矩阵是列向量 , 表示约束方程的右侧常数 ;

b=begin{bmatrix}\\ b_1\\ b_2\\ vdots\\ b_m\\ end{bmatrix}

5. 矩阵

A

: 该矩阵是

m times n

矩阵 , 有

m

行

n

列 ,

m

表示约束方程个数 ,

n

表示变量个数 ; (

n > m

)

m

同时也是 矩阵

A

的秩 ; 该矩阵是

m

个 约束方程的每个变量前的 系数 矩阵 ;

A=begin{bmatrix}\\ & a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} &\\ & a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} &\\ & vdots & vdots & ddots & vdots &\\ & a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} &\\ end{bmatrix}
VII . 线性规划 标准形式 向量形式公式 ( 向量 Pj )

1. 向量概念 : 向量是特殊的矩阵 ,

m

行

1

列的矩阵 , 就是向量 ;

2. 线性规划 向量形式 : 其中 矩阵

C

, 矩阵

X

, 矩阵

b

与上面的矩阵形式内容一致 , 本公式之比上个公式多了一个 向量

P_j

;

begin{array}{lcl}max Z = CX \ \ s.t begin{cases} sum_{j = 1}^{n} P_j x_j = b \ \ X geq 0 end{cases}end{array}

3. 向量

P_j

表示 : 该向量是

m

行

1

列的矩阵 , 表示 约束方程

A

中的第

j

行的列向量 , 其中

j = 1 , 2, cdots , n

;

P_j=begin{bmatrix}\\ a_{1j}\\ a_{2j}\\ vdots\\ a_{mj}\\ end{bmatrix}

4. 矩阵

A

与 向量

P_j

关系 :

A = begin{bmatrix}\\ & a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} &\\ & a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} &\\ & vdots & vdots & ddots & vdots &\\ & a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} &\\ end{bmatrix} = begin{bmatrix} & P_1 & P_2 & cdots & P_n & end{bmatrix}

5. 系数替换方案 : 在线性规划 普通公式中 , 约束方程系数

a_{ij}

可以使用

P_j

进行替换 ;

sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i \\ i = 1,2,cdots,m \\ j= 1, 2,cdots,n

向量

P_j

代替其中的

a_{ij}

, 替换完毕后为 :

sum_{j = 1}^{n} P_j x_j = b_i \\ j= 1, 2,cdots,n
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