【数据挖掘】K-Means 二维数据聚类分析 ( K-Means 迭代总结 | K-Means 初始中心点选择方案 | K-Means 算法优缺点 | K-Means 算法变种 )

2023-03-27 19:54:16 浏览数 (1)

文章目
  • K-Means 二维数据 聚类分析 数据样本及聚类要求
  • 二维数据曼哈顿距离计算
  • K-Means 算法 步骤
  • 第一次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化
  • 第一次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离
  • 第一次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组
  • 第二次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化
  • 第二次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离
  • 第二次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组
  • K-Means 迭代总结
  • K-Means 初始中心点选择方案
  • K-Means 算法优缺点
  • K-Means 算法变种

K-Means 二维数据 聚类分析 数据样本及聚类要求

数据样本及聚类要求 :

① 数据样本 : 数据集样本为

6

个点 ,

A_1 ( 2 , 4 )

,

A_2 ( 3 , 7 )

,

B_1 ( 5 , 8 )

,

B_2 ( 9 , 5 )

,

C_1 ( 6 , 2 )

,

C_2 ( 4 , 9 )

;

② 聚类个数 : 分为

3

个聚类 ;

③ 距离计算方式 : 使用 曼哈顿距离 , 计算样本之间的相似度 ; 曼哈顿距离的计算方式是 两个维度的数据差 的 绝对值 相加 ;

④ 中心点初始值 : 选取

A_1 , B_1 , C_1

三个样本为聚类的初始值 , 这是实点 ; 如果选取非样本的点作为初始值 , 就是虚点 ;

⑤ 要求 : 使用 K-Means 算法迭代

2

次 ;

⑥ 中心值精度 : 计算过程中中心值小数向下取整 ;

二维数据曼哈顿距离计算

1 . 曼哈顿距离 公式如下 :

d(i, j) = | x_{i1} - x_{j1} | | x_{i2} - x_{j2} | cdots | x_{ip} - x_{jp} |
d(i, j)

表示两个样本之间的距离 , 曼哈顿距离 ;

p

表示属性的个数 , 每个样本有

p

个属性 ;

i

和

j

表示两个 样本的索引值 , 取值范围是

{1 , 2, cdots , q}

;

x_{ip} - x_{jp}

表示两个样本 第

p

个属性值 的差值 ,

x_{i1} - x_{j1}

表示两个样本 第

1

个属性值 的差值 ,

x_{i2} - x_{j2}

表示两个样本 第

2

个属性值 的差值 ;

2 . 曼哈顿距离图示 : 曼哈顿的街道都是横平竖直的 , 从

A

点到

B

点 , 一般就是其

x

轴坐标差 加上其

y

轴坐标差 , 即

x y

;

3 . 本题目中的样本距离计算示例 : 两个样本的曼哈顿距离是

x

属性差的绝对值 , 加上

y

属性差的绝对值 , 之和 ;

计算

A_1 ( 2 , 4 )

,

A_2 ( 3 , 7 )

的距离 :

d(A_1 , A_2) = | 2 - 3 | |4 - 7| = 4
A_1

样本与

A_2

样本之间的距离是

4

;

K-Means 算法 步骤

K-Means 算法 步骤 : 给定数据集

X

, 该数据集有

n

个样本 , 将其分成

K

个聚类 ;

① 中心点初始化 : 为

K

个聚类分组选择初始的中心点 , 这些中心点称为 Means ; 可以依据经验 , 也可以随意选择 ;

② 计算距离 : 计算

n

个对象与

K

个中心点 的距离 ; ( 共计算

n times K

次 )

③ 聚类分组 : 每个对象与

K

个中心点的值已计算出 , 将每个对象分配给距离其最近的中心点对应的聚类 ;

④ 计算中心点 : 根据聚类分组中的样本 , 计算每个聚类的中心点 ;

⑤ 迭代直至收敛 : 迭代执行 ② ③ ④ 步骤 , 直到 聚类算法收敛 , 即 中心点 和 分组 经过多少次迭代都不再改变 , 也就是本次计算的中心点与上一次的中心点一样 ;

第一次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化

初始化中心点 :

3

个聚类的中心点 , 在题目中已经给出 ;

① 聚类

1

中心点 :

A_1 ( 2 , 4 )

;

② 聚类

2

中心点 :

B_1 ( 5 , 8 )

;

③ 聚类

3

中心点 :

C_1 ( 6 , 2 )

;

第一次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离

距离计算次数 : 这里需要计算所有的样本 , 与所有的中心点的距离 , 每个样本都需要计算与

3

个中心点的距离 , 共需要计算

6 times 3 = 18

次 ;

数据样本 :

A_1 ( 2 , 4 )

,

A_2 ( 3 , 7 )

,

B_1 ( 5 , 8 )

,

B_2 ( 9 , 5 )

,

C_1 ( 6 , 2 )

,

C_2 ( 4 , 9 )

1 . 计算

A_1 ( 2 , 4 )

与 三个中心点

{ A_1 , B_1 , C_1 }

之间的距离 :

①

A_1 ( 2 , 4 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离 : ( 最小 )

d(A_1 , A_1) = | 2-2 | | 4-4 | = 0

②

A_1 ( 2 , 4 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离 :

d(A_1 , B_1) = | 2-5 | | 4-8 | = 7

③

A_1 ( 2 , 4 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离 :

d(A_1 , C_1) = | 2-6 | | 4-2 | = 6
A_1 ( 2 , 4 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离最小 ;

2 . 计算

A_2 ( 3 , 7 )

与 三个中心点

{ A_1 , B_1 , C_1 }

之间的距离 :

①

A_2 ( 3 , 7 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离 :

d(A_2 , A_1) = | 3-2 | | 7-4 | = 4

②

A_2 ( 3 , 7 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离 : ( 最小 )

d(A_2 , B_1) = | 3-5 | | 7-8 | = 3

③

A_2 ( 3 , 7 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离 :

d(A_2 , C_1) = | 3-6 | | 7-2 | = 8
A_2 ( 3 , 7 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离最小 ;

3 . 计算

B_1 ( 5 , 8 )

与 三个中心点

{ A_1 , B_1 , C_1 }

之间的距离 :

①

B_1 ( 5 , 8 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离 :

d(B_1 , A_1) = | 5 -2 | | 8 -4 | = 7

②

B_1 ( 5 , 8 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离 : ( 最小 )

d(B_1 , B_1) = | 5 -5 | | 8 -8 | = 0

③

B_1 ( 5 , 8 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离 :

d(B_1 , C_1) = | 5 -6 | | 8 -2 | = 7
B_1 ( 5 , 8 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离最小 ;

4 . 计算

B_2 ( 9 , 5 )

与 三个中心点

{ A_1 , B_1 , C_1 }

之间的距离 :

①

B_2 ( 9 , 5 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离 :

d(B_2 , A_1) = | 9 -2 | | 5 -4 | = 8

②

B_2 ( 9 , 5 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离 :

d(B_2 , B_1) = | 9 -5 | | 5 -8 | = 7

③

B_2 ( 9 , 5 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离 : ( 最小 )

d(B_2 , C_1) = | 9 -6 | | 5 -2 | = 6
B_2 ( 9 , 5 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离最小 ;

5 . 计算

C_1 ( 6 , 2 )

与 三个中心点

{ A_1 , B_1 , C_1 }

之间的距离 :

①

C_1 ( 6 , 2 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离 :

d(C_1 , A_1) = | 6 -2 | | 2 -4 | = 6

②

C_1 ( 6 , 2 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离 :

d(C_1 , B_1) = | 6 -5 | | 2 -8 | = 7

③

C_1 ( 6 , 2 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离 : ( 最小 )

d(C_1 , C_1) = | 6 -6 | | 2 -2 | = 0
C_1 ( 6 , 2 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离最小 ;

6 . 计算

C_2 ( 4 , 9 )

与 三个中心点

{ A_1 , B_1 , C_1 }

之间的距离 :

①

C_2 ( 4 , 9 )

与

A_1 ( 2 , 4 )

的距离 :

d(C_2 , A_1) = | 4 -2 | | 9 -4 | = 7

②

C_2 ( 4 , 9 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离 : ( 最小 )

d(C_2 , B_1) = | 4 -5 | | 9 -8 | = 2

③

C_2 ( 4 , 9 )

与

C_1 ( 6 , 2 )

的距离 :

d(C_2 , C_1) = | 4 -6 | | 9 -2 | = 9
C_2 ( 4 , 9 )

与

B_1 ( 5 , 8 )

的距离最小 ;

8 . 生成距离表格 : 将上面计算的内容总结到如下表格中 ;

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)

A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)

B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)

B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)

C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)

C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)

0 0 0

4 4 4

7 7 7

8 8 8

6 6 6

7 7 7

B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)

7 7 7

3 3 3

0 0 0

7 7 7

7 7 7

2 2 2

C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)

6 6 6

8 8 8

7 7 7

6 6 6

0 0 0

9 9 9

A_1 ( 2 , 4 )
A_2 ( 3 , 7 )
B_1 ( 5 , 8 )
B_2 ( 9 , 5 )
C_1 ( 6 , 2 )
C_2 ( 4 , 9 )
A_1 ( 2 , 4 )
0
4
7
8
6
7
B_1 ( 5 , 8 )
7
3
0
7
7
2
C_1 ( 6 , 2 )
6
8
7
6
0
9
第一次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组

1 . 聚类分组 : 根据计算出的 , 每个样本与

3

个中心点的距离 , 将样本划分到 距离该样本最近的中心点 对应的分组中 ;

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)

A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)

B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)

B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)

C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)

C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)

0 0 0

4 4 4

7 7 7

8 8 8

6 6 6

7 7 7

B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)

7 7 7

3 3 3

0 0 0

7 7 7

7 7 7

2 2 2

C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)

6 6 6

8 8 8

7 7 7

6 6 6

0 0 0

9 9 9

A_1 ( 2 , 4 )
A_2 ( 3 , 7 )
B_1 ( 5 , 8 )
B_2 ( 9 , 5 )
C_1 ( 6 , 2 )
C_2 ( 4 , 9 )
A_1 ( 2 , 4 )
0
4
7
8
6
7
B_1 ( 5 , 8 )
7
3
0
7
7
2
C_1 ( 6 , 2 )
6
8
7
6
0
9

2 . 根据表格中的距离 , 为每个样本分组 :

①

A_1 ( 2 , 4 )

距离

A_1 ( 2 , 4 )

中心点最近 , 划分到 聚类

1

中 ;

②

A_2 ( 3 , 7 )

距离

B_1 ( 5 , 8 )

中心点最近 , 划分到 聚类

2

中 ;

③

B_1 ( 5 , 8 )

距离

B_1 ( 5 , 8 )

中心点最近 , 划分到 聚类

2

中 ;

④

B_2 ( 9 , 5 )

距离

C_1 ( 6 , 2 )

中心点最近 , 划分到 聚类

3

中 ;

⑤

C_1 ( 6 , 2 )

距离

C_1 ( 6 , 2 )

中心点最近 , 划分到 聚类

3

中 ;

⑥

C_2 ( 4 , 9 )

距离

B_1 ( 5 , 8 )

中心点最近 , 划分到 聚类

2

中 ;

3 . 最终的聚类分组为 :

① 聚类

1

:

{ A_1 }

② 聚类

2

:

{ A_2 , B_1 , C_2 }

③ 聚类

3

:

{ B_2 , C_1 }
第二次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化
A_1 ( 2 , 4 )

,

A_2 ( 3 , 7 )

,

B_1 ( 5 , 8 )

,

B_2 ( 9 , 5 )

,

C_1 ( 6 , 2 )

,

C_2 ( 4 , 9 )

1 . 聚类

1

中心点计算 : 计算

{ A_1 ( 2 , 4 ) }

中心点

聚类 1 中心点 = ( 2 , 4 )

2 . 聚类

2

中心点计算 : 计算

{ A_2 ( 3 , 7 ) , B_1 ( 5 , 8 ) , C_2( 4 , 9 ) }

中心点

聚类 2 中心点 = ( frac{3 5 4}{3} , frac{7 8 9}{3}) = ( 4 , 8 )

3 . 聚类

3

中心点计算 : 计算

{ B_2( 9 , 5 ) , C_1 ( 6 , 2 ) }

中心点

聚类 3 中心点 = ( frac{9 6 }{2} , frac{5 2}{2}) = ( 7 , 3 )
第二次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离

计算

6

个点 , 到

3

个中心点的距离 ,

3

个中心点分别是

{ ( 2 , 4 ) , ( 4 , 8 ) , ( 7 , 3 ) }

, 直接将两个点的曼哈顿距离填在对应的表格中 ;

如 : 第

1

行 , 第

2

列 :

A_1 ( 2 , 4 )

样本 与

( 4 , 8 )

聚类

2

中心点的 曼哈顿距离 是

6

, 计算过程如下 :

A_1 ( 2 , 4 ) 与 ( 4 , 8 ) 两点曼哈顿距离 = | 2 - 4 | | 4 - 8 | = 6

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)

A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)

B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)

B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)

C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)

C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)

( 2 , 4 ) ( 2 , 4 ) (2,4)

0 0 0

4 4 4

7 7 7

8 8 8

6 6 6

7 7 7

( 4 , 8 ) ( 4 , 8 ) (4,8)

6 6 6

2 2 2

1 1 1

8 8 8

8 8 8

1 1 1

( 7 , 3 ) ( 7 , 3 ) (7,3)

6 6 6

8 8 8

7 7 7

4 4 4

2 2 2

9 9 9

A_1 ( 2 , 4 )
A_2 ( 3 , 7 )
B_1 ( 5 , 8 )
B_2 ( 9 , 5 )
C_1 ( 6 , 2 )
C_2 ( 4 , 9 )
( 2 , 4 )
0
4
7
8
6
7
( 4 , 8 )
6
2
1
8
8
1
( 7 , 3 )
6
8
7
4
2
9
第二次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组

1 . 聚类分组 : 根据计算出的 , 每个样本与

3

个中心点的距离 , 将样本划分到 距离该样本最近的中心点 对应的分组中 ;

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)

A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)

B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)

B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)

C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)

C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)

( 2 , 4 ) ( 2 , 4 ) (2,4)

0 0 0

4 4 4

7 7 7

8 8 8

6 6 6

7 7 7

( 4 , 8 ) ( 4 , 8 ) (4,8)

6 6 6

2 2 2

1 1 1

8 8 8

8 8 8

1 1 1

( 7 , 3 ) ( 7 , 3 ) (7,3)

6 6 6

8 8 8

7 7 7

4 4 4

2 2 2

9 9 9

A_1 ( 2 , 4 )
A_2 ( 3 , 7 )
B_1 ( 5 , 8 )
B_2 ( 9 , 5 )
C_1 ( 6 , 2 )
C_2 ( 4 , 9 )
( 2 , 4 )
0
4
7
8
6
7
( 4 , 8 )
6
2
1
8
8
1
( 7 , 3 )
6
8
7
4
2
9

2 . 根据表格中的距离 , 为每个样本分组 :

①

A_1 ( 2 , 4 )

距离

( 2 , 4 )

中心点最近 , 划分到 聚类

1

中 ;

②

A_2 ( 3 , 7 )

距离

( 4 , 8 )

中心点最近 , 划分到 聚类

2

中 ;

③

B_1 ( 5 , 8 )

距离

( 4 , 8 )

中心点最近 , 划分到 聚类

2

中 ;

④

B_2 ( 9 , 5 )

距离

( 7 , 3 )

中心点最近 , 划分到 聚类

3

中 ;

⑤

C_1 ( 6 , 2 )

距离

( 7 , 3 )

中心点最近 , 划分到 聚类

3

中 ;

⑥

C_2 ( 4 , 9 )

距离

( 4 , 8 )

中心点最近 , 划分到 聚类

2

中 ;

3 . 最终的聚类分组为 :

① 聚类

1

:

{ A_1 }

② 聚类

2

:

{ A_2 , B_1 , C_2 }

③ 聚类

3

:

{ B_2 , C_1 }

第二次迭代的聚类分组 , 与第一次迭代的聚类分组 , 没有改变 , 说明聚类算法分析结果已经收敛 , 该聚类结果就是最终的结果 ;

K-Means 迭代总结

1 . 第一次迭代 :

① 设置中心点 : 设置了

3

个初始中心点 ,

A_1 ( 2 , 4 )

对应聚类

1

中心点 ,

B_1 ( 5 , 8 )

对应聚类

2

中心点 ,

C_1 ( 6 , 2 )

对应聚类

3

中心点 ;

② 计算中心点距离 : 然后就算

6

个样本距离这

3

个中心点的距离 ;

③ 根据距离聚类分组 : 每个样本取距离最近的

1

个中心点 , 将该样本分类成该中心点对应的聚类分组 , 聚类分组结果是 , 聚类

1

:

{ A_1 }

, 聚类

2

:

{ A_2 , B_1 , C_2 }

, 聚类

3

:

{ B_2 , C_1 }

;

2 . 第二次迭代 :

① 计算中心点 : 根据第一次迭代的聚类分组结果计算 3 3 3 个中心点 , ( 2 , 4 ) ( 2 , 4 ) (2,4) 对应聚类 1 1 1 中心点 , ( 4 , 8 ) 对应聚类 2 2 2 中心点 , ( 7 , 3 ) ( 7 , 3 ) (7,3) 对应聚类 3 3 3 中心点 ;

② 计算中心点距离 : 然后就算

6

个样本距离这

3

个中心点的距离 ;

③ 根据距离聚类分组 : 每个样本取距离最近的

1

个中心点 , 将该样本分类成该中心点对应的聚类分组 , 聚类分组结果是 , 聚类

1

:

{ A_1 }

, 聚类

2

:

{ A_2 , B_1 , C_2 }

, 聚类

3

:

{ B_2 , C_1 }

;

3 . 最终结果 : 经过

2

次迭代 , 发现 , 根据最初选择中心点 , 进行聚类分组的结果 , 就是最终的结果 , 迭代

2

次的分组结果相同 , 说明聚类算法已经收敛 , 此时的聚类结果就是最终结果 , 聚类算法终止 ;

K-Means 初始中心点选择方案

1 . 初始中心点选择 :

① 初始种子 : 初始的中心点 , 又称为种子 , 如果种子选择的好 , 迭代的次数就会非常少 , 迭代的最少次数为

2

, 如上面的示例 ;

② 种子选择影响 : 初始种子选择的好坏 , 即影响算法收敛的速度 , 又影响聚类结果的质量 ; 选择的好 , 迭代

2

次 , 算法收敛 , 得到最终结果 , 并且聚类效果很好 ; 选择的不好 , 迭代很多次才收敛 , 并且聚类效果很差 ;

2 . 初始中心点选择方案 :

① 随机选择 ;

② 使用已知聚类算法的结果 ;

③ 爬山算法 : K-Means 采用的是爬山算法 , 只找局部最优的中心点 ;

K-Means 算法优缺点

1 . K-Means 算法优点 :

① 算法可扩展性高 : 算法复杂度随数据量增加 , 而线性增加 ;

② 算法的复杂度 : K-Means 的算法复杂度是

O(tkn)

,

n

是数据样本个数 ,

k

是聚类分组的个数 ,

t

是迭代次数 ,

t

一般不超过

n

;

2 . K-Means 算法缺点 :

③ 事先必须设定聚类个数 : K-Means 的聚类分组的个数, 必须事先确定 , 有些应用场景中 , 事先是不知道聚类个数的 ;

④ 有些中心点难以确定 : 有些数据类型的中心点不好确定 , 如字符型的数据 , 离散型数据 , 布尔值数据 等 ;

⑤ 鲁棒性差 : 对于数据样本中的噪音数据 , 异常数据 , 不能有效的排除这些数据的干扰 ;

⑥ 局限性 : 只能处理凸状 , 或 球状分布的样本数据 , 对于 凹形分布 的样本数据 , 无法有效的进行聚类分析 ;

K-Means 算法变种

1 . K-Means 方法有很多变种 :

① K_Modes : 处理离散型的属性值 , 如字符型数据等 ;

② K-Prototypes : 处理 离散型 或 连续型 的属性 ;

③ K-Medoids : 其计算中心点不是使用算术平均值 , 其使用的是中间值 ;

2 . K-Means 变种算法 与 k-Means 算法的区别与联系 :

① 原理相同 : 这些变种算法 与 K-Means 算法原理基本相同 ;

② 中心点选择不同 : 变种算法 与 原算法 最初的中心点选择不同 ;

③ 距离计算方式不同 : K-Means 使用曼哈顿距离 , 变种算法可能使用 欧几里得距离 , 明科斯基距离 , 边际距离 等 ;

④ 计算聚类中心点策略不同 : K-Means 算法中使用算术平均 , 有的使用中间值 ;

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