一. 生成函数 ( 母函数 ) 的定义
1. 生成函数定义
( 1 ) 生成函数的定义
生成函数定义 :
1.假设条件 : 设
是一个数列 ;
2.形式幂级数 : 使用 该 数列 做 形式幂级数
3.生成函数 :称上述
是数列
的生成函数;
( 2 ) 形式幂级数 ( 参考 )
形式幂级数 :
1.幂级数 : 数学分析 中 重要概念 , 在 指数级的 每一项 均为 与 级数项 序号
相对应的 以 常数倍的
的
次方 (
是从 0开始计数的整数 , a为常数 ) ;
幂级数用途 : 其 被 作为 基础内容 应用到了 实变函数 , 复变函数 , 等众多领域 中 ;
2.形式幂级数 : 是 数学中 的 抽奖概念 , 从 幂级数 中 抽离出来 的 代数对象 ; 形式幂级数 和 从 多项式 中 剥离出的 多项式环 类似 , 但是 其 允许 无穷多项式 因子 相加 , 但不像 幂级数 一般 要求 研究 是否收敛 和 是否有确定的 取值 ;
① 假设条件 : 设 x是一个符号 ,
为实数 ;
② 未定元 形式幂级数 :
称为 x 的未定元 的 一个 形式幂级数 ;
3.研究重点 : 形式幂级数 中 , x 从来 不指定具体数值 , 不关心 收敛 或 发散 , 关注的重点是其 系数序列
, 研究形式幂级数 完全可以 归结为 讨论 这些系数序列 ;
2. 生成函数 示例
( 1 ) 生成函数 示例
示例题目 :设
为正整数,求数列
的生成函数
解 :
① 列出生成函数 :
② 列出其累加生成函数:
注意 :生成函数 从属于 一个数列,说明生成函数时 , 先说明其数列,指明 数列 的 生成函数 是 某个函数;
二. 常用 生成函数 ( 重要 )
1. 与常数相关的生成函数
2. 与 二项式系数 相关的生成函数
3. 与 组合数 相关的生成函数
