【运筹学】线性规划数学模型 ( 知识点回顾 | 可行解 | 最优解 | 阶梯型矩阵 | 阶梯型矩阵向量 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 )

2023-03-28 16:19:30 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、知识点回顾
    • 1、线性规划三要素
    • 2、线性规划一般形式
    • 3、线性规划标准形式
  • 二、线性规划解、可行解、最优解
  • 三、阶梯型矩阵
  • 四、阶梯型矩阵向量
  • 五、基、基向量、基变量、非基变量

一、知识点回顾

1、线性规划三要素

线性规划三要素 :

  • 决策变量 :
x_1 , x_2 , cdots
  • 目标条件 : 决策变量的线性函数 , 求最大值或最小值 ;
  • 约束条件 : 一组由决策变量组成的等式或不等式 ;

2、线性规划一般形式

begin{array}{lcl}max (min) z = sum_{j=1}^{n}c_j x_j\ \ begin{cases} sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = b_i & (i = 1 , 2 cdots m) \ \x_j geq 0 & (i = 1 , 2 cdots n) end{cases}end{array}

3、线性规划标准形式

标准形式特点及转化步骤 : 按照如下顺序进行处理 ;

  • 约束条件都是等式 , 且右侧常数
geq 0

, 小于等于不等式加上松弛变量 , 大于等于不等式减去剩余变量 ;

  • 决策变量
geq 0

, 没有约束的变量

x_j = x_j' - x_j''

, 使用两个变量代替

1

个变量 ;

  • 目标函数求最大值 , 如果是求最小值 , 目标函数
times -1

;

线性规划标准形式 :

begin{array}{lcl}max Z = sum_{j = 1}^{n} c_j x_j\\ s.t begin{cases} sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j leq ( = cdot geq) b_i & i = 1,2,cdots,m \ \ x_j geq 0 & j= 1, 2,cdots,n end{cases}end{array}

二、线性规划解、可行解、最优解

线性规划标准形式如下 :

begin{array}{lcl}max Z = sum_{j = 1}^{n} c_j x_j\\ s.t begin{cases} sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i & i = 1,2,cdots,m \ \ x_j geq 0 & j= 1, 2,cdots,n end{cases}end{array}

可行解 : 满足约束条件的解 , 称为可行解 ;

可行域 : 所有的可行解组成的集合 , 称为可行域 ;

最优解 : 使目标函数达到最大值的可行解 , 称为最优解 ;

线性规划求解就是在 可行解 中找出一个 最优解 ;

将线性规划转化为标准形式 , 就可以使用求解方程组的方法 , 求解线性规划的可行解 ;

三、阶梯型矩阵

拿到一个方程组

AX = B

, 其中

A

是

m times n

的矩阵

X

是

n times 1

维向量

B

是

m times 1

维向量

这是线性规划的矩阵形式 , 参考 【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 ) VI 线性规划数学模型矩阵形式

解上述方程组 , 使用高斯方程 , 高斯消元法 ;

将系数矩阵

A

和

B

做成一个矩阵

bigl( A B bigr)

, 进行行变换 , 消元成阶梯形式 , 此时可以判断该方程组是否有解 , 如果有 , 可以将所有的解解出来 , 求解时 , 阶梯元素很关键 ,

阶梯型矩阵参考 : 矩阵中每行的第一个不为零的元素 , 其左侧和下方全是 0 ;

高斯消元法示例 : 求解下面的方程组 ;

begin{cases} x_1 x_2 x_3 = 8 \ \ x_2 - x_3 = 2 end{cases}
bigl( A B bigr)

矩阵为

begin{bmatrix} &1 & 1 & 1 & 8 & \\ &0 & 1 & -1 & 2 & end{bmatrix}

找到阶梯型矩阵 : 前两列就是阶梯型矩阵 ;

前两列的矩阵

begin{bmatrix} &1 & 1 & \\ &0 & 1 & end{bmatrix}

就是特殊矩阵 , 分别是

x_1

和

x_2

对应的矩阵 ;

x_3

是特殊的变量 , 其可以任意取值的 , 当

x_3

取任意值时 , 通过阶梯型矩阵 , 可以计算出

x_1

和

x_2

的值 ;

假设

x_3

取值为

k

, 那么 :

x_2 = k 2
x_1 = 6 - 2k

四、阶梯型矩阵向量

begin{cases} x_1 x_2 x_3 = 8 \ \ x_2 - x_3 = 2 end{cases}

方程组中有如下向量 :

x_1

对应的矩阵列向量

begin{bmatrix} &1 & \\ &0 & end{bmatrix}

称为

P_1

,

x_2

对应的矩阵列向量

begin{bmatrix} &1 & \\ &1 & end{bmatrix}

称为

P_2

,

x_3

对应的矩阵列向量

begin{bmatrix} &1 & \\ &-1 & end{bmatrix}

称为

P_3

,

写成向量形式

bigl( P_1 P_2 P_3 b bigr)

, 在上方程组的矩阵中 , 找到阶梯型矩阵后 , 阶梯型矩阵对应的向量

P_1

和

P_2

是特殊的 ;

bigl( P_1 P_2 bigr)

两个列向量构成了

2 times 2

二阶方阵 , 该方阵是阶梯型矩阵 , 是可逆的 ;

可逆矩阵参考

上述方程组可以写成

P_1x_1 P_2 x_2 P_3x_3 = b

形式 ;

有如下计算推导过程 :

AX = B
P_1x_1 P_2 x_2 P_3x_3 = b
bigl( P_1 P_2 bigr) begin{pmatrix} x_1 \ x_2 end{pmatrix} P_3x_3 = b

将

bigl( P_1 P_2 bigr)

当做一个矩阵

B

, 将

begin{pmatrix} x_1 \ x_2 end{pmatrix}

当做一个矩阵

X_B

;

将整个系数矩阵 除了

B

之外剩下的矩阵称为

N

, 对应的变量矩阵称为

X_N

;

BX_B NX_N = b

在上述矩阵的表达式中 , 方程组

begin{cases} x_1 x_2 x_3 = 8 \ \ x_2 - x_3 = 2 end{cases}

中 一定有一个系数矩阵的子矩阵

B

是特殊的矩阵 ;

B

矩阵与

A

矩阵的关系 :

A

矩阵是

m times n

维的矩阵 ,

m

行 ,

n

列 , 有

n

个变量 ,

m

个等式 ;

A

的秩为

m

, 且

n geq m

;

  • 矩阵
B

就是

m times m

的方阵 ;

线性规划前提 :

  • 这里说明一下 , 如果
n leq m

, 那么该方程组有唯一解 , 或无解 ;

  • 整个运筹学讨论的就是等式个数
m

少于变量个数

n

, 有多个解的情况下 , 如何找出最优解 , 因此其矩阵的秩就是等式个数

m

;

五、基、基向量、基变量、非基变量

A

矩阵是

m times n

维的矩阵 ,

m

行 ,

n

列 , 线性规划中 , 有

n

个变量 ,

m

个等式 ;

矩阵

A

的秩是

m

, 即等式个数 ;

矩阵

A

中肯定能找到一个可逆的方阵 , 矩阵

B

;

矩阵

B

是矩阵

A

中的满秩子矩阵 , 则称该 矩阵

B

是线性规划问题的一个 基 ;

P_1x_1 P_2 x_2 P_3x_3 = b

上述示例中的

bigl( P_1 P_2 bigr)

就是线性规划中的基 ;

bigl( P_1 P_2 bigr)

,

bigl( P_1 P_3 bigr)

,

bigl( P_2 P_3 bigr)

都是线性规划的基 ;

基向量 : 上述 基矩阵 中的

P_1 , P_2 , P_3

列向量 , 称为 基向量 ;

基变量 : 与基向量相乘的

x_1 , x_2, x_3

变量 , 称为 基变量 ;

非基变量 : 基变量之外的其它变量 , 称为非基变量 ;

vi 变量 函数 集合

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