【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表 可满足式 矛盾式 重言式 )

2023-03-28 17:42:25 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、命题与联结词
  • 二、命题公式
  • 三、命题公式示例
  • 四、联结词优先级
  • 五、真值表

基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;

一、命题与联结词

原子命题 :

p , q , r

表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

  • 真 :
1

表示 命题真值 为真 ;

  • 假 :
0

表示 命题真值 为假 ;

联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

  • 否定联结词 :
lnot
  • 合取联结词 :
land

,

p land q

,

pq

同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;

  • 析取联结词 :
lor

,

p lor q

,

pq

同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;

  • 蕴涵联结词 :
to

,

p to q

,

p

真

q

假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;

  • 等价联结词 :
leftrightarrow

,

p leftrightarrow q

,

pq

真值相同时为真 , 表示等价成立 ,

pq

真值相反时为假 , 等价不成立 ;

二、命题公式

命题公式 组成 :

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果

A

是命题公式 , 则

(lnot A)

也是命题公式 ;

③ 如果

A,B

是命题公式 , 则

(A land B) , (A lor B), (A to B), (A leftrightarrow B)

也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

三、命题公式示例

命题公式示例 :

简单命题 :

p

复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;

lnot p
(p to q)

, 最外层的括号可以省略 ,

p to q
(p to (q to r))

, 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 ,

p to (q to r)

;

四、联结词优先级

联结词优先级 :

“

lnot

” 大于 “

land , lor

” 大于 “

to, leftrightarrow

”

land , lor

优先级相同 ;

to, leftrightarrow

优先级相同 ;

五、真值表

真值表 :

p p p

q q q

p → q p to q p→q

p ∧ ¬ q p land lnot q p∧¬q

p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p land ( p lor q ) leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p

0 0 0

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 1

p
q
p to q
p land lnot q
p land ( p lor q ) leftrightarrow p
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
p to q

是 可满足式 ;

p land lnot q

是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;

p land ( p lor q ) leftrightarrow p

是 重言式 , 又称为 永真式 ;

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;

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