文章目录
- 一、等值演算
- 二、等值式
- 三、基本等值式
- 四、基本运算
- 五、等值演算
基于上一篇博客 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表 可满足式 矛盾式 重言式 ) ;
一、等值演算
等值演算 :
- 等值式
- 基本等值式
- 等值演算置换规则
二、等值式
等值式概念 :
是两个命题公式 , 如果
是永真式 , 那么
两个命题公式是等值的 , 记做
;
等值式特点 :
和
两个命题公式 , 可以 互相代替 , 凡是出现
的地方都可以替换成
, 凡是出现
的地方都可以替换成
;
证明
与
是等值式 ;
p p p | q q q | p → q p to q p→q | ¬ p ∨ q lnot p lor q ¬p∨q | ( p → q ) ↔ ( ¬ p ∨ q ) (p to q) leftrightarrow (lnot p lor q) (p→q)↔(¬p∨q) |
|---|---|---|---|---|
0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 |
0 0 0 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 |
1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 |
1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 |
写出两个命题公式的真值表 , 从而 计算
的真值表 , 计算完成后发现其是 永真式 , 根据定义 , 这两个命题公式是等价的 ,
;
三、基本等值式
基本运算规律 :
- 1. 幂等律 :
,
- 2. 交换律 :
,
- 3. 结合律 :
,
- 4. 分配律 :
,
新运算规律 :
- 5. 德摩根律 :
,
- 6. 吸收率 :
- 前者将后者吸收了 :
A lor ( A land B ) Leftrightarrow A - 后者将前者吸收了 :
A land ( A lor B ) Leftrightarrow A ;
相关的运算律 :
- 7. 零律 :
,
- 8. 同一律 :
,
- 9. 排中律 :
- 10. 矛盾律 :
对偶原理适用于上述运算律 , 将两边的
互换 , 同时
互换 , 等价仍然成立 ;
等价蕴含运算规律 :
- 11. 双重否定率 :
- 12. 蕴涵等值式 :
- 13. 等价等值式 :
- 14. 等价否定等值式 :
- 15. 假言易位 ( 逆否命题 ) :
- 16. 归谬论 ( 反证法 ) :
四、基本运算
基本运算 :
等价等值式 : 等价联结词
不是必要的 , 使用
两个联结词可以替换 等价联结词 ;
蕴含等值式 : 蕴含联结词
不是必要的 , 使用
两个联结词可以替换 蕴含联结词 ;
德摩根律 :
- 有了 与 (
) 非 (
) , 就可以表示 或 (
)
- 有了 或 (
) 非 (
) , 就可以表示 与 (
)
因此得出结论 , 与非 或者 或非 ( 二选一 ) , 可以表示所有的命题 ;
五、等值演算
证明
与
是等价的 ;
证明上述两个命题是等价的 , 有两种方法 :
- 一个是列出 真值表
- 另外一个就是进行 等值演算
使用 蕴含等值式 , 进行置换 : 将
置换为
继续使用 蕴含等值式 , 将外层的蕴含符号置换 :
使用 结合律 , 将
结合在一起 :
使用 德摩根律 , 将
提取到外面 :
使用 蕴含等值式 , 进行置换 ;
