【集合论】集合概念与关系 ( 集合表示 | 数集合 | 集合关系 | 包含 | 相等 | 集合关系性质 )

2023-03-28 17:56:06 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、 集合论体系
  • 二、 集合表示
  • 三、 数集合
  • 三、 集合关系
    • 1、 包含关系
    • 2、 相等关系
    • 3、 集合间包含关系性质

一、 集合论体系

集合论体系 :

  • 朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;
  • 公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;

二、 集合表示

集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;

列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 :

A = {0, 1, 2, 3}

,

B = {0, 1, 2, 3, cdots}

描述法 : 使用 谓词

P(x)

表示

x

具有性质

P

, 使用

{x | P(x)}

表示具有性质

P

的集合 ;

P(x)

表示

x

是英文字母 ,

{ x | P(x) }

表示英文字母集合 ;

P(x)

表示

x

是偶数 ,

{ x | P(x) }

表示偶数集合 ;

集合表示注意事项 :

不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;

无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;

集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;

表示方法转化示例 :

列举法 :

A={ 0, 2, 4 , 6 , cdots }

描述法 :

A = { x | x geq 0 并且 x 是偶数 }

三、 数集合

自然数集合 :

N = { 0, 1 , 2 , cdots }

整数集合 :

Z = { 0, pm 1 , pm 2 , cdots }

有理数集合 :

Q

实数集合 :

R

复数集合 :

C

三、 集合关系

集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;

1、 包含关系

集合的包含关系 :

描述 :

A, B

两个集合 , 如果

B

中的元素 都是

A

中的元素 , 称

B

集合 是

A

集合的 子集 ,

A

包含

B

,

B

包含于

A

;

记作 :

B subseteq A

符号化形式 :

B subseteq A Leftrightarrow forall x ( x in B to x in A )

, 对于所有的对象 , 只要属于

B

集合 , 就属于

A

集合 ;

集合的不包含关系 :

描述 : 如果 集合

B

不是 集合

A

的子集

记作 :

B notsubseteq A

;

符号化形式 :

B notsubseteq A Leftrightarrow exist x ( x in B land x notin A )

, 对于所有的对象 , 存在对象属于

B

集合 , 不属于

A

集合 ;

包含示例 :

A = {1, 2, 3, 4}

,

B = {1, 2, 3}

,

C = {1, 2}

有

C subseteq B

,

C subseteq A

,

B subseteq A

2、 相等关系

集合的相等关系 :

描述 :

A, B

两个集合 , 如果

A

包含

B

, 并且

B

包含

A

, 则称

A

与

B

相等 ;

记作 :

A = B

符号化表示 :

A = B Leftrightarrow forall x ( x in B leftrightarrow x in A )

3、 集合间包含关系性质

集合间包含关系性质 : 下面的

A, B, C

是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;

自反性 :

A subseteq A

, 集合真包含它自己 ;

反对称性 : 若

A subseteq B

且

B not= A

, 则

B notsubseteq A

( 该性质等价于 若

A subseteq B

且

B subseteq A

, 则

A = B

)

传递性 : 若

A subseteq B

且

B subseteq C

, 则

A subseteq C
对象 集合

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