【集合论】集合概念与关系 ( 集族 | 集族示例 | 多重集 )

2023-03-28 17:57:57 浏览数 (1)

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  • 一、 集族
  • 二、 集族示例
  • 三、 多重集

一、 集族

集族 : 除

P(A)

幂集之外 , 由 集合构成的集合 , 称为集族 ;

带指标集的集族 : 集族中的集合 , 都赋予记号 , 就是带指标集的集族 ;

mathscr{A}

是一个集族 ,

S

是一个集合

对于任意

alpha in S

, 存在 唯一的

A_alpha in mathscr{A}

(

alpha

是

S

中的元素 ,

A_alpha

是集族

mathscr{A}

中的集合元素 )

并且

mathscr{A}

集族中的任何集合元素 , 都对应

S

集合中的某一个元素

称

mathscr{A}

集族 是以

S

集合 为指标集的集族

S

集合 是

mathscr{A}

集族 的 指标集

记作 :

mathscr{A} = {A_alpha | alpha in S }

如果将

varnothing

看做集族 ,

varnothing

称为 空集族 ;

二、 集族示例

1. 集族示例 1 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

集合

A_1 = {1}

, 集合

A_2 = { 2 }

, 那么 集族

mathscr{A} = { A_1 , A_2 }

是以

{1 , 2}

集合为指标集的集合 ;

2. 集族示例 2 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

p

是素数

集合

A_k = { x | x = k( mod p ) }

, 其中

k = 0, 1 , 2 , cdots , p-1

集族

mathscr{A} = { A_0 , A_1 , A_2 , cdots , A_{p-1} }

是以 集合

{0, 1 , 2 , cdots , p-1}

为指标集的 集族 ;

记作 :

mathscr{A} = { A_k | k in {0, 1 , 2 , cdots , p-1} }

3. 集族示例 3 : 指标集无限 , 集族中集合元素有限

集合

An = { x in N | x = n }

是由一个自然数元素

n

组成的集合 ;

集族

mathscr{A} = { A_n | n in N }

就是以

N

为指标集的集族 ;

4. 集族示例 4 : 指标集

N_

无限 , 集族中的每个元素集合中的元素也是无限的 ;

N_ = N - {0}

,

N_

是除

0

意外的自然数集合

集合

A_n = { x | 0 leq x < 1 / n land n in N }

,

x

是

[0 , 1)

区间的实数集合 ,

n

表示除

0

以外的自然数 ;

A_n

集合中的元素是无限的 , 其取值范围是

[ 0, 1/n )

, 是个区间 ;

集族

mathscr{A} = { A_n | n in N_ }

就是以

N_

为指标集的集族 ;

三、 多重集

多重集 : 全集

E

,

E

中的元素 , 多次在集合

A

中出现 , 称 集合

A

是多重集 ;

重复度 :

E

中的元素

a

在 集合

A

中 出现

k

次 , 称

a

元素在

A

集合中重复度为

k

;

多重集示例 :

全集

E = {a, b, c, d }

多重集

A = { a , a , a , c , c , d }

,

a

元素在

A

集合的重复度为

3
b

元素在

A

集合的重复度为

0
c

元素在

A

集合的重复度为

2
d

元素在

A

集合的重复度为

1

集合与多重集关系 : 集合可以看做重复度小于等于

1

的多重集 ;

集合

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