【集合论】集合运算 ( 并集 | 交集 | 不相交 | 相对补集 | 对称差 | 绝对补集 | 广义并集 | 广义交集 | 集合运算优先级 )

2023-03-28 17:58:14 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、 并集
  • 二、 并集示例
  • 三、 交集
  • 四、 交集示例
  • 五、 不相交
  • 六、 相对补集
  • 七、 对称差
  • 八、 绝对补集
  • 九、 广义并集
  • 十、 广义交集
  • 十一、 集合运算优先级

一、 并集

并集 :

A, B

是两个集合 , 由

A

和

B

所有的元素组成的集合 , 称为

A

与

B

的并集 ;

记做 :

A cup B

,

cup

称为 并运算符 ;

符号化表示 :

A cup B = { x | x in A lor x in B }

初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;

A_1 , A_2 , cdots , A_n

是

n

个集合 , 则

A_1 cup A_2 cup cdots cup A_n = { x | exist i ( 1 leq i leq n lor x in A_i ) }

, 记作

bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 cup A_2 cup cdots cup A_n
A_1 , A_2 , cdots , A_n , cdots

是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :

bigcup_{i=1}^{infty} A_i = A_1 cup A_2 cup cdots

二、 并集示例

集合

A = { x in N | 5 leq x leq 10 }

, 集合

B = { x in N | x leq 10 lor x 是素数 }
A cup B = { 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 }

三、 交集

交集 :

A, B

是两个集合 ,

A

和

B

公共元素组成的集合 , 称为

A , B

集合的交集 ;

记作 :

A cap B

,

cap

称为 交运算符 ;

符号化表示 :

A cap B = { x | x in A land x in B }

初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;

A_1 , A_2 , cdots , A_n

是

n

个集合 , 则

A_1 cap A_2 cap cdots cap A_n = { x | forall i ( 1 leq i leq n to x in A_i ) }

, 记作

bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 cap A_2 cap cdots cap A_n
A_1 , A_2 , cdots , A_n , cdots

是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :

bigcap_{i=1}^{infty} A_i = A_1 cap A_2 cap cdots

四、 交集示例

集合

A = { x in N | 5 leq x leq 10 }

, 集合

B = { x in N | x leq 10 land x 是素数 }
A cap B = { 5, 7 }

五、 不相交

不相交 :

A , B

两个集合 , 如果

A cap B = varnothing

, 则称

A

和

B

两个集合是 不相交 的 ;

扩展到多个集合 :

A_1 , A_2 , cdots

是可数个集合 , 任意

i not= j

,

A_i cap A_j = varnothing

都成立 , 则称

A_1 , A_2 , cdots

是互不相交的 ;

六、 相对补集

相对补集 :

A , B

两个集合 , 属于

A

集合 而 不属于

B

集合 的 全体元素组成的集合 , 称为

B

对

A

的相对补集 ;

记作 :

A - B

符号化表示 :

A-B = { x | x in A land x notin B }

七、 对称差

对称差 :

A , B

是两个集合 , 属于

A

集合 而 不属于

B

集合 , 属于

B

集合 而 不属于

A

集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为

A

与

B

的对称差 ;

记作 :

A oplus B

符号化表示 :

A oplus B = { x | ( x in A land x notin B ) lor ( x notin A land x in B ) }

对称差 与 相对补集 关系 :

A oplus B = ( A - B ) cup ( B - A ) = ( A cup B ) - ( A cap B )
( A - B ) cup ( B - A )

:

A

对

B

的相对补集 , 与

B

对

A

的相对补集 的 并集 ;

( A cup B ) - ( A cap B )

:

A, B

的并集 对

A,B

交集的相对补集 ;

八、 绝对补集

绝对补集 :

E

是全集 ,

A subseteq E

, 全集

E

包含

A

集合 , 称

A

对

E

的相对补集 为

A

的绝对补集 ;

记作 :

sim A

符号化表示 :

sim A = { x | x in E land x notin A }

其中

E

是全集 ,

x in E

为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 ,

1

合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;

因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的

x in E

, 结果为 :

sim A = { x | x notin A }

九、 广义并集

广义并集 :

mathscr{A}

是一个 集族 , 集族

mathscr{A}

中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族

mathscr{A}

的广义并 ;

记作 :

cup mathscr{A}

符号化表示 :

cup mathscr{A} = { x | exist z ( x in z land z in mathscr{A} ) }

广义并集示例 :

mathscr{A} = { {a, b} , {a, c} , {a, b, c} }
cup mathscr{A} = { a, b, c }

十、 广义交集

广义交集 :

mathscr{A}

是一个 集族 , 集族

mathscr{A}

中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族

mathscr{A}

的广义交 ;

记作 :

cap mathscr{A}

符号化表示 :

cap mathscr{A} = { x | forall z ( z in mathscr{A} to x in z ) }

广义并集示例 :

mathscr{A} = { {a, b} , {a, c} , {a, b, c} }
cap mathscr{A} = { a }

十一、 集合运算优先级

第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;

第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;

集合

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