文章目录
一、 集合恒等式
1. 幂等律 :
A cup A = A ,
A cap A = A2. 交换律 :
A cup B = B cup A ,
A cap B = B cap A3. 结合律 :
(A cup B) cup C = A cup ( B cup C ) ,
(A cap B) cap C = A cap ( B cap C )4. 分配率 :
A cup ( B cap C ) = ( A cup B ) cap ( A cup C ) ,
A cap ( B cup C ) = ( A cap B ) cup ( A cap C )5. 德摩根律 :
① 绝对形式 :
sim ( A cup B ) = sim A cap sim B ,
sim ( A cap B ) = sim A cup sim B② 相对形式 :
A - (B cup C) = ( A - B ) cap (A - C) ,
A - (B cap C) = ( A - B ) cup (A - C)6. 吸收率 :
A cup ( A cap B ) = A ,
A cap (A cup B) = A7. 零律 :
A cup E = E ,
A cap varnothing = varnothing8. 同一律 :
A cup varnothing = A ,
A cap E = A( 空集是并运算的单位元 , 全集是交运算的单位元 )
9. 排中律 :
A cup sim A = E10. 矛盾律 :
A cap sim A = varnothing11. 余补律 :
sim varnothing = E ,
sim E= varnothing12. 双重否定定律 :
sim ( sim A ) = A13. 补交转换律 :
A - B = A cap sim B( 集合的差运算是不必要的 , 集合的交运算和补运算可以替代差运算 )
二、 集合恒等式推广到集族
{ A_alpha }_{alpha in S} 为集族 ,
S 是指标集 ,
alpha 是指标集中的元素 , 对于
S 集合中的
alpha 元素 , 都有一个集合
A_alpha 与之对应 ; 所有的
A_alpha 集合放在一起 , 形成一个集族 ;
B 是任意的一个集合 ;
1 . 分配律
分配律 ① :
B cup ( bigcap { A_alpha }_{alpha in S} ) = bigcap_{alpha in S} ( B cup A_alpha )集族中每个集合元素求交 , 然后与
B 进行并运算 ; 等价于 集族中每个元素与
B 求并 , 然后在求上述每个并运算结果的交 ;
分配律 ② :
B cap ( bigcup { A_alpha }_{alpha in S} ) = bigcup_{alpha in S} ( B cap A_alpha )集族中每个集合元素求并 , 然后与
B 进行交运算 ; 等价于 集族中每个元素与
B 求交 , 然后在求上述每个并运算结果的并 ;
2 . 德摩根律
德摩根律 ( 绝对形式 ) ① :
sim ( bigcup { A_alpha }_{alpha in S} ) = bigcap_{alpha in S} ( sim A_alpha )集族的广义并 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 绝对形式 ) ② :
sim ( bigcap { A_alpha }_{alpha in S} ) = bigcup_{alpha in S} ( sim A_alpha )集族的广义交 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义并 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ③ :
B - ( bigcup { A_alpha }_{alpha in S} ) = bigcap_{alpha in S} ( B - A_alpha )B 集合减去 集族的广义并 ( 集族广义并 相对于 集合
B 的补集 ) ; 等于
B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ④ :
B - ( bigcap { A_alpha }_{alpha in S} ) = bigcup_{alpha in S} ( B - A_alpha )B 集合减去 集族的广义交 ( 集族广义交 相对于 集合
B 的补集 ) ; 等于
B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义并 ;
