2023-03-28 17:59:57
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文章目录
- 一、 卡氏积
- 二、 卡氏积示例
- 三、 卡氏积性质
- 四、 n 维卡氏积
- 五、 n 维卡氏积个数
- 六、 n 维卡氏积性质
前置博客 : 【集合论】有序对 ( 有序对 | 有序三元组 | 有序 n 元祖 )
一、 卡氏积
卡氏积 :
A , B 是两个集合 , 由
A 集合中的元素作为第一个元素 , 由
B 集合中的元素作为第二个元素 , 符合上述条件的有序对组成的集合 , 称为集合
A 与
B 的卡氏积 ;
记作 :
A times B符号化表示 :
A times B = { <x, y> | x in A land y in B }集合
A 与 集合
B 的 卡氏积 是一个 新的集合 , 这个新集合是一个 有序对集合 ;
二、 卡氏积示例
集合
A = { varnothing , a } , 集合
B = { 1, 2, 3 }A times B = { <varnothing , 1> , <varnothing , 2>, <varnothing , 3>, <a, 1> , <a, 2> , <a , 3> }每个有序对 第一个元素来自
A 集合 , 第二个元素来自
B 集合 ;
B times A = { <1, varnothing > , <2, varnothing >, <3 , varnothing >, <1, a> , <2, a> , <3, a> }每个有序对第一个元素来自
B 集合 , 第二个元素来自
A 集合 ;
A times A = {< varnothing, varnothing> , <varnothing, a> , <a, varnothing> , <a, a> }每个有序对第一个元素来自
A 集合 , 第二个元素来自
A 集合 ;
B times B = { <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <2, 1> , <2, 2> , <2,3> , <3,1> , <3,2> , <3,3> }每个有序对第一个元素来自
B 集合 , 第二个元素来自
B 集合 ;
三、 卡氏积性质
1. 非交换性
A times B not= B times A有三种特殊情况 , 交换性成立
①
A = B②
A = varnothing③
B = varnothing2. 非结合性
( A times B ) times C not= A times ( B times C)有三种特殊情况 , 结合性成立
①
A = varnothing②
B = varnothing③
C = varnothing3. 分配率
A times ( B cup C ) = (A times B) cup (A times C)4. 有序对为空的情况
A times B = varnothing Leftrightarrow A = varnothing lor B= varnothing四、 n 维卡氏积
n 维卡氏积 :
A_1 times A_2 times cdots times A_n = { <x_1 , x_2, cdots , x_n> | x_1 in A_1 land x_2 in A_2 land cdots land x_n in A_n }n 个集合的卡氏积 ,
n 维卡氏积结果 , 每个有序对有
n 个元素 , 每个元素都分别 按照指定顺序 来自这
n 个集合 ;
A^n = begin{matrix} underbrace{ A times A times cdots times A } \ n 个end{matrix}这是
n 个 集合
A 的
n 维卡氏积 ;
五、 n 维卡氏积个数
n 维卡氏积个数 :
|A_i| = n_i , i = 1, 2, cdots , nRightarrow| A_1 times A_2 times cdots times A_n | = n_1 times n_2 times cdots times n_n|A_i| = n_i ,
i = 1, 2, cdots , n : 表示 第
i 个集合
A_i 的元素个数是
n_i ;
| A_1 times A_2 times cdots times A_n | : 表示
n 个集合的卡氏积结果集合个数 ;
n_1 times n_2 times cdots times n_n :
n 个集合的卡氏积结果 ;
六、 n 维卡氏积性质
n 维卡氏积性质 : 与
2 维卡氏积性质类似
