【集合论】二元关系 ( 二元关系记法 | A 到 B 的二元关系 | 二元关系个数 | 二元关系示例 )

2023-03-28 18:00:38 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、 二元关系
  • 二、 二元关系记法
  • 三、 A 到 B 的二元关系
  • 四、 A 到 B 的二元关系个数
  • 五、 A 到 B 的二元关系举例

一、 二元关系

n

元关系 :

元素 都是 有序

n

元组的集合 ;

n

元关系示例 :

3 元关系 :

F_1 = { <1, 2, 3> , <a, b, c> , <数学 , 物理 , 化学> }
F_1

是

3

元关系 , 其每个元素都是 有序

3

元组 ;

4 元关系 :

F_2 = { <1, 2, 3, 4> , <a, b, c, d> , <语文 , 数学 , 物理 , 化学> }
F_2

是

4

元关系 , 其每个元素都是 有序

4

元组 ;

上述有序

n

元组 , 个数相同 , 元素性质可以不同 ;

二、 二元关系记法

如果

F

是二元关系 (

F

是有序

2

元组集合 )

则有 :

<x, y> in F
Leftrightarrow
x 与 y 有 F 关系
Leftrightarrow
xFy

二元关系记法 :

① 中缀记法 ( infix ) :

xFy

② 前缀记法 ( prefix ) :

F(x, y)

, 或

Fxy

③ 后缀记法 ( suffix ) :

<x,y> in F

, 或

xyF

如 :

2 < 5

,

2

小于

5

;

① 中缀记法 ( infix ) :

2 < 5

② 前缀记法 ( prefix ) :

<(2, 5)

③ 后缀记法 ( suffix ) :

<2,5> in <

三、 A 到 B 的二元关系

A

到

B

的二元关系概念 :

A times B

的 任意子集 是

A

到

B

的二元关系

Leftrightarrow
R subseteq A times B
Leftrightarrow
R in P(A times B)
A

到

B

的二元关系 其中可能有

1

个集合 ,

2

个集合 ,

cdots

,

n

个集合 ;

四、 A 到 B 的二元关系个数

A

到

B

的二元关系个数 :

|A| = m

,

|B| = n
A

集合元素个数

m

个 ,

B

集合元素个数

n

个 ;

有序对个数 :

|A times B| = mn

二元关系 个数 :

|P(A times B) = 2^{mn}|

, 即 上述

mn

个有序对总集合的 幂集 个数 ;

A

到

B

的二元关系个数 =

A times B

幂集个数 =

2^{mn}

个

五、 A 到 B 的二元关系举例

A = {a_1, a_2}

,

B = { b }
A

集合 与

B

集合的卡氏积是 :

A times B = { varnothing, { <a_1 , b> } , { <a_2 , b> } }

分析 : 其中有

3

个有序对 , 其二元关系个数有

2^{2 times 1} = 4

个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有

0

个有序对的个数

0

个 ,

1

个有序对的个数

2

个 ,

2

个有序对个数

1

个 ;

A

集合 到

B

集合的 二元关系 : 有

4

个 ;

R_1 = varnothing

,

a_1

与

b

没有关系 ,

a_2

与

b

没有关系 ;

R_2 = { <a_1 , b> }

,

a_1

与

b

有关系 ,

a_2

与

b

没有关系 ;

R_3 = { <a_2 , b> }

,

a_1

与

b

有关系 ,

a_2

与

b

没有关系 ;

R_4 = { <a_1 , b> , <a_2, b> }

,

a_2

与

b

有关系 ,

a_1

与

b

有关系 ;

B

集合 与

A

集合的卡氏积是 :

A times B = { varnothing, { <b, a_1 > } , { <b, a_2 > } }

分析 : 其中有

3

个有序对 , 其二元关系个数有

2^{2 times 1} = 4

个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有

0

个有序对的个数

0

个 ,

1

个有序对的个数

2

个 ,

2

个有序对个数

1

个 ;

B

集合 到

A

集合的 二元关系 : 有

4

个 ;

R_5 = varnothing

,

b

与

a_1

没有关系 ,

b

与

a_2

没有关系 ;

R_6 = { <b, a_1 > }

,

b

与

a_1

有关系 ,

b

与

a_2

没有关系 ;

R_7 = { <b, a_2> }

,

b

与

a_1

没有关系 ,

b

与

a_2

有关系 ;

R_8 = { <b, a_1 > , <b, a_2> }

,

b

与

a_1

有关系 ,

b

与

a_2

有关系 ;

prefix 集合

0 人点赞