【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 )

2023-03-28 18:01:03 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、 特殊关系
  • 二、 集合上的特殊关系
  • 三、 整除关系
  • 四、 大小关系

一、 特殊关系

特殊二元关系 :

  • 空关系
  • 恒等关系
  • 全域关系
  • 整除关系
  • 小于等于关系
  • 包含关系
  • 真包含关系

二、 集合上的特殊关系

集合

A

是任意集合 , 集合

A

中可以定义以下关系 :

空关系 :

varnothing

, 空关系中没有关系 ;

恒等关系 :

I_A = { <x, x> | x in A }

全域关系 :

E_A = A times A = { <x,y> | x in A land y in A }

, 任何两个元素之间都有关系 ;

上述三种关系是最基本的关系 , 任意集合都能定义上述三种关系 ;

全域关系 是 最大的关系 , 其中包含所有可能的有序对 ;

空关系 是 最小的关系 , 其中没有任何有序对 ;

恒等关系 有特殊意义 , 关系运算中不起到任何作用 ;

三、 整除关系

A subseteq Z

,

A

集合是整数集的子集 , 定义

A

集合上的整除关系 :

D_A = { <x, y> | x in A land y in A land x|y }

其中的

x|y

中的

|

符号是整除的意思 ,

x

整除

y

;

x

整除

y

,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

dfrac{y}{x}
y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

dfrac{y}{x}

整除关系示例 :

A = { 1, 2, 3, 4 }
D_A = { <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <1, 4> , <2, 2> , <2, 4> , <3, 3> , <4,4> }

四、 大小关系

A subseteq R

, 集合

A

是实数集子集 , 在集合

A

上有以下二元关系 :

大于关系 ( Great Than ) :

G_A = { <x,y> | x in A land y in A land x > y }

大于等于关系 ( Great Than Or Equal To ) :

GE_A = { <x,y> | x in A land y in A land x geq y }

小于关系 ( Less Than ) :

L_A = { <x,y> | x in A land y in A land x < y }

小于等于关系 ( Less Than Or Equal To ) :

LE_A = { <x,y> | x in A land y in A land x leq y }

如果

A

集合是有限集 , 则

A

上的关系是有限个 ;

如果

A

集合是无限集 , 则

A

上的关系是无限个 ;

less 集合

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