【集合论】Stirling 子集数 ( 斯特林子集数概念 | 放球模型 | Stirling 子集数递推公式 | 划分的二元关系 加细关系 )

2023-03-28 18:06:51 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、Stirling 子集数
  • 二、放球模型
  • 三、Stirling 子集数递推公式
  • 四、Stirling 子集数示例 ( 四元集等价关系个数 )
  • 五、划分的二元关系 加细关系

一、Stirling 子集数

Stirling 子集数 :

将

n

个不同的球 放到

k

个相同的盒子 中 , 不能有空盒 , 即 每个盒子至少放一个球 ;

不同的放置方法总数是 :

begin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix}

, 该数称为 Stirling 数 ;

将

n

元集分成

k

个非空子集 的 分法个数 ;

划分 与 等价关系 的描述是等价的 , 每个 划分 都与 等价关系 一一对应 ;

Stirling 子集数作用 : 求集合中有多少不同的 等价关系 , 即求集合中有多少个不同的 划分 ;

二、放球模型

放球模型 : 上述 斯特林 Stirling 子集数 , 是小球放在盒子中 , 小球是有编号的 , 需要 区分不同的小球 , 盒子是没有编号的 , 不需要进行区分盒子 ; 下面整理下不同的放球模型 :

  • 球有编号 , 盒子没有编号 ( 不同的球放在相同盒子里 ) : 这是求集合 划分问题 , Stirling 数 ; 这属于放球子模型 ;
  • 球没有编号 , 盒子有编号 ( 相同的球放在不同盒子里 ) : 不定方程解问题 , 多重集组合问题 , 正整数剖分问题 ;
  • 球有编号 , 盒子有编号 ( 不同的球放在不同的盒子里 ) : 多重集排列 , 指数函数问题 ;
begin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix}

表示将

n

个元素分成

k

个子集的分法个数 ;

begin{pmatrix} n \ k end{pmatrix}

表示从

n

个元素中选出

k

个小球的方案个数 ;

参考 : 百度百科-放球问题

三、Stirling 子集数递推公式

常见的 Stirling 子集数 结果 :

begin{Bmatrix} n \ 0 end{Bmatrix} = 0

将

n

个球放在

0

个不同的盒子里 , 有

0

种分法 ;

将

n

个元素分成

0

类 , 有

0

种分法 ; 就是 没有方法 ;

begin{Bmatrix} n \ 1 end{Bmatrix} = 1

将

n

个球放在

1

个不同的盒子里 , 有

1

种分法 ;

将

n

个元素分成

1

类 , 有

1

种分法 ; 相当于 全域关系 ;

begin{Bmatrix} n \ 2 end{Bmatrix} = 2^{n -1} - 1

将

n

个球放在

2

个不同的盒子里 , 有

2^n -1

种分法 ;

n

元集有

2^n

个不同的子集合 , 这是幂集的个数 , 每个子集合 , 与其补集都成对 , 因此 有

2^{n-1}

对集合 , 其中要 减去 空集合 与 全集合 的那一对 , 最终结果是

2^{n -1} - 1

;

begin{Bmatrix} n \ n-1 end{Bmatrix} = C^n_2

将

n

个球放在

n-1

个不同的盒子里 , 有

C^n_2

种分法 ;

将

n

个元素分成

n-1

类 , 有两个元素算作一类 , 其它每个元素都自成一类 ; 只要将

n

个元素中属于一类的

2

个元素选出即可 , 有多少中选法 , 就有多少分类 ;

begin{Bmatrix} n \ n end{Bmatrix} = 1

将

n

个球放在

n

个不同的盒子里 , 有

1

种分法 ;

将

n

个元素分成

n

类 , 有

1

种分法 ; 相当于 恒等关系 ;

Stirling 子集数 递推公式 :

begin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix} = kbegin{Bmatrix} n-1 \ k end{Bmatrix} begin{Bmatrix} n-1 \ k-1 end{Bmatrix}

将

n

个元素分为

k

类 , 先把一个元素挑出来 , 放在一边 , 还剩

n-1

个元素 ;

挑出的元素合并到其它类 : 将这

n-1

个元素分为

k

类 , 将挑出来的元素分别加入到

k

类中 ; 得到的总结果就是

n

个元素分为

k

类 , 挑出来的元素分别加入到

k

类中 , 有

k

种不同的方法 , 即分别加入到低

1,2,3, cdots , k

类中 ;

挑出的元素自成一类 : 将

n-1

个元素分为

k-1

类 , 每个类都非空 , 然后让挑出来的元素自成一类 , 该自称一类的类 与 之前的

k-1

个类 , 合并在一起是

k

个类 ;

上述两种情况同时考虑 , 就是 Stirling 子集数的递推公式 ;

kbegin{Bmatrix} n-1 \ k end{Bmatrix}

含义 : 将

n-1

个元素分成

k

个子集

begin{Bmatrix} n-1 \ k end{Bmatrix}

, 再 加入第

n

个元素到其中之一 有

k

种方案 , 在上述基础上乘以

k

;

begin{Bmatrix} n-1 \ k-1 end{Bmatrix}

含义 : 将

n-1

个元素分成

k-1

个子集

begin{Bmatrix} n-1 \ k-1 end{Bmatrix}

, 剩下的第

n

个元素自然成为一个子集 ( 只有唯一一种方案 ) ;

四、Stirling 子集数示例 ( 四元集等价关系个数 )

求四元集上的等价关系个数 , 即

4

个元素分为

1, 2,3,4

类的分法相加 ;

begin{Bmatrix} 4 \ 1 end{Bmatrix} begin{Bmatrix} 4 \ 2 end{Bmatrix} begin{Bmatrix} 4 \ 3 end{Bmatrix} begin{Bmatrix} 4 \ 4 end{Bmatrix} = 1 ( 2^{4-1} - 1 ) C^4_2 1 =1 7 6 1 = 15

四元集上的 有序对个数是

4 times 4 = 16

个 ;

四元集上的 关系个数是

2^{16} =65536

个 ; 包含如下情况 , 含有

0

个有序对 , 含有

1

个有序对 ,

cdots

, 含有

16

个有序对 ;

上面

65536

个二元关系中有

15

个是等价关系 ;

五、划分的二元关系 加细关系

集族

mathscr{A}

和 集族

mathscr{B}

都是 集合

A

的划分 , 如果

mathscr{A}

中每个划分块 都包含于

mathscr{B}

的某个划分块 中 , 则称

mathscr{A}

划分 是

mathscr{B}

划分 的加细 ;

加细 是一个二元关系 , 是划分之间的二元关系 ;

加细关系具有 :

  • 自反省 : 每个划分是它自己的加细
  • 传递性 :
mathscr{A}

是

mathscr{B}

的加细 ,

mathscr{B}

是

mathscr{C}

的加细 ,

mathscr{A}

是

mathscr{C}

的加细

  • 没有对称性 : 加细不具有对称性
  • 没有全域关系 : 有的划分之间互相都不是加细
百度 基础 集合 模型

0 人点赞