【集合论】序关系 ( 偏序关系 | 偏序集 | 偏序集示例 )

2023-03-28 18:07:11 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、偏序关系
  • 二、偏序集
  • 三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )
  • 四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )
  • 五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )

一、偏序关系

偏序关系 :

给定非空集合

A

,

A not= varnothing

,

R

关系是

A

集合上的二元关系 ,

R subseteq A times A

,

如果

R

关系满足以下性质 :

  • 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;
  • 反对称 : 两个顶点之间 有
0

个或

1

个有向边 ;

  • 传递 : 前提
a to b , bto c

不成立 默认传递 ; 前提

a to b , bto c

成立 必须满足

a to c

存在 ;

则称

R

关系是

A

集合上的 偏序关系 ;

偏序关系表示 : 使用

preccurlyeq

符号表示偏序关系 , 读作 “小于等于” ;

符号化表示 :

<x,y> in R Leftrightarrow xRy Leftrightarrow x preccurlyeq y

, 解读 :

<x,y>

有序对在偏序关系

R

中 , 则

x

与

y

之间有

R

关系 ,

x

小于等于

y

;

等价关系 是用于 分类 的 , 偏序关系 是用于 组织 的 , 在每个类的内部 , 赋予一个结构 ;

二、偏序集

偏序集 :

preccurlyeq

关系 是

A

集合上的偏序关系 , 则称 集合

A

与 偏序关系

preccurlyeq

构成的 有序对

<A, preccurlyeq>

称为偏序集 ;

如果集合上有偏序关系 , 那么这个集合就称为偏序集 ;

三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )

大于等于、小于等于、整除关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 单个数值元素 ;

1. 大于等于、小于等于关系

varnothing not=A subseteq R

, 非空集合

A

, 是实数集

R

的子集 ;

集合

A

上的大于等于关系 , 小于等于关系 , 都是偏序关系 , 这两个关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;

偏序集表示为 :

<A , leq> , <A, geq>

大于等于关系集合表示 :

geq = {<x, y> | x,y in A land x geq y }

小于等于关系集合表示 :

leq = {<x, y> | x,y in A land x leq y }

2. 整除关系

varnothing not=A subseteq Z_ = { x | x in Z land x > 0 }

, 非空集合

A

, 是正整数集

Z_

的子集 ;

集合

A

上的 整除关系 是偏序关系 , 整除关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;

偏序集表示为 :

<A , |>

整除关系集合表示 :

|= {<x, y> | x,y in A land x | y }

x

整除

y

,

x|y

,

x

是除数 (分子) ,

y

是被除数 (分母) ;

dfrac{y}{x}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系

四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )

包含关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集合 ;

集族

mathscr{A}

包含于

A

集合的幂集 ,

mathscr{A}subseteq P(A)

;

包含关系 ,

x

包含于

y

, 符号化表示 :

subseteq = {<x,y> | x,y in mathscr{A} land x subseteq y }

包含关系举例 :

前提 :

  • 集合
A = { a, b }
  • 集族
mathscr{A}_1 = { varnothing , { a } , { b } }
  • 集族
mathscr{A}_2 = { { a } , { a , b } }
  • 集族
mathscr{A}_3 = P(A) = { varnothing , { a } , { b } , { a , b } }

, 该集族也是

A

的幂集 ;

使用有序对表示以下的包含关系 , 每个有序对的元素都是集合 ;

① 集族

mathscr{A}_1

上的所有包含关系 :

subseteq_1 = I_{mathscr{A}_1} cup { <varnothing , { a }> , <varnothing , { b }> }

集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;

空集包含于任意非空集合 ;

② 集族

mathscr{A}_2

上的所有包含关系 :

subseteq_2 = I_{mathscr{A}_2} cup { <{ a }, { a, b }> }

集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;

{ a }

集合包含于

{ a, b }

集合 ;

③ 集族

mathscr{A}_3

上的所有包含关系 :

subseteq_3 = I_{mathscr{A}_3} cup { <varnothing , { a }> , <varnothing , { b }> , <varnothing , { a,b }> , { <{ a }, { a, b }> } , { <{ b }, { a, b }> } }

集族上的恒等关系是包含关系 ;

空集包含于任意非空集合 ;

{ a }

集合包含于

{ a, b }

集合 ;

{ b }

集合包含于

{ a, b }

集合 ;

五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )

加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;

集合

A

非空 ,

pi

是

A

集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;

划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号

preccurlyeq_{加细}

表示 ;

加细关系

preccurlyeq_{加细}

符号化表示 :

preccurlyeq_{加细} = { <x, y> | x, y in pi land x 是 y 的加细 }

前提 :

  • 集合
A = { a, b , c }
  • 集族
mathscr{A}_1 = { { a , b , c } }
  • 集族
mathscr{A}_2 = { { a } , { b , c } }
  • 集族
mathscr{A}_3= { { b } , { a , c } }
  • 集族
mathscr{A}_4= { { c } , { a , b } }
  • 集族
mathscr{A}_5= { { a } , { b } , { c } }

上述集族都是

A

集合的划分 ;

划分组成的集合 , 形成新的集合 ;

pi_1 = { mathscr{A}_1 , mathscr{A}_2 }
pi_2 = { mathscr{A}_2 , mathscr{A}_3 }
pi_3 = { mathscr{A}_1 , mathscr{A}_2 , mathscr{A}_3 , mathscr{A}_4, mathscr{A}_5 }

①

pi_1

集合中的划分元素的加细关系 :

preccurlyeq_1 = I_{pi1} cup {<mathscr{A}_2, mathscr{A}_1>}

每个划分都是它自己的加细 ;

mathscr{A}_2

是

mathscr{A}_1

的加细 ,

mathscr{A}_2

小于等于

mathscr{A}_1

;

②

pi_2

集合中的划分元素的加细关系 :

preccurlyeq_2 = I_{pi2}

每个划分都是它自己的加细 ;

mathscr{A}_2 , mathscr{A}_3

互相都不是对方的加细 ;

③

pi_3

集合中的划分元素的加细关系 :

preccurlyeq_3 = I_{pi3} cup {<mathscr{A}_2, mathscr{A}_1> , <mathscr{A}_3, mathscr{A}_1> , <mathscr{A}_4, mathscr{A}_1> , <mathscr{A}_5, mathscr{A}_1> , <mathscr{A}_5, mathscr{A}_2> , <mathscr{A}_5, mathscr{A}_3> , <mathscr{A}_5, mathscr{A}_4> }

每个划分都是它自己的加细 ;

任何划分都是

mathscr{A}_1

的加细 ;

mathscr{A}_1

是最大的 , 大于等于其它任何划分 ;

mathscr{A}_5

是任何划分的加细 ;

mathscr{A}_5

是最小的 , 小于等于其它任何划分 ;

集合

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