【集合论】序关系 ( 偏序集元素之间的关系 | 可比 | 严格小于 | 覆盖 | 哈斯图 )

2023-03-28 18:07:54 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、可比
  • 二、严格小于
  • 三、覆盖
  • 四、哈斯图

一、可比

可比 :

A

集合 , 该集合上存在 偏序关系

preccurlyeq

小于等于 ,

偏序集 是 集合 和 偏序关系 组成的有序对

<A, preccurlyeq>

,

x, y

是

A

集合中的两个元素 ,

x , y in A

,

要么是

x preccurlyeq y

, 要么就是

y preccurlyeq x

, 符号化表示是

x preccurlyeq y lor y preccurlyeq x

, 两种情况必选其一 ,

则称

x

与

y

是可比的 ;

只要

x, y

之间 存在偏序关系 , 不管谁在前 , 谁在后 , 都 统一称

x

与

y

是可比的 ;

二、严格小于

严格小于 概念需要基于 可比概念

严格小于 :

A

集合 与

A

上偏序关系

preccurlyeq

, 组成 偏序集

<A, preccurlyeq>

,

x, y

是

A

集合中的两个元素 ,

x , y in A

,

如果

x , y

是可比的 (

x,y

之间存在偏序关系 ) , 但是

x

与

y

不相等 , 则称

x

严格小于

y

;

符号化表示 :

x preccurlyeq y land x not= y Leftrightarrow x prec y

三、覆盖

覆盖 概念需要基于 严格小于概念

覆盖 :

A

集合 与

A

上偏序关系

preccurlyeq

, 组成 偏序集

<A, preccurlyeq>

,

x, y , z

是

A

集合中的元素 ,

x , y , z in A

,

x

严格小于

y

,

x prec y

,

不存在

z

, 使

x

严格小于

z

, 并且

z

严格小于

y

,

则称

y

覆盖

x

; ( 注意是 大 覆盖 小 )

偏序关系中 大 覆盖 小

符号化表示 :

x prec y land lnot exist z( z in A land x prec y prec z )

四、哈斯图

A

集合 与

A

上偏序关系

preccurlyeq

, 组成 偏序集

<A, preccurlyeq>

,

x, y

是

A

集合中的两个元素 ,

x , y in A

,

哈斯图 :

① 顶点 : 使用 顶点 表示

A

集合中的元素 ;

② 无向边 : 当且仅当

y

覆盖

x

时 ,

y

顶点在

x

顶点 上方 , 并且在

x

顶点 与

y

顶点之间 绘制一条 无向边 ;

上图是

6

元集 上的偏序关系

preccurlyeq
A

元素比

B,C,D

元素都小

偏序关系是传递的 ,

A

比

B

小 ,

B

比

F

小 , 因此

A

比

F

小

最下面的元素

A

是最小的 , 所有的元素都比

A

大 ( 包括

A

, 偏序关系是自反的 )

最上面的元素

F

是最大的 , 所有的元素都比

F

小 ( 包括

F

, 偏序关系是自反的 )

BCDE

四个元素互相都不可比

哈斯图 与 关系图对比 省略的内容 :

① 环 : 偏序关系是自反的 , 因此 每个顶点上都有环 , 可以省略掉环

② 箭头 : 偏序关系是反对称的 , 因此 两个顶点两两之间肯定没有双向边 , 都是单向边 , 因此可以省略箭头方向

③ 默认方向 : 使用上下位置表示箭头的方向 , 箭头默认向上 , 偏序是 小于等于 , 最小的在最小面, 最大的在最上面 ;

集合

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