【组合数学】排列组合 ( 集合排列、分步处理示例 )

2023-03-28 18:16:20 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、集合排列、分步处理示例

排列组合参考博客 :

  • 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
  • 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 两个计数原则、集合排列示例 | 集合排列、圆排列示例 )
  • 【组合数学】排列组合 ( 集合组合、一一对应模型分析示例 )

一、集合排列、分步处理示例

有

9

本不同的书 ,

4

本红皮 ,

5

本白皮 ;

1.

9

本书的排列方式 :

9

本书 , 每本书都是不同的 , 元素不重复 , 排列方式指的是有序选取 ,

因此这里 元素不重复 , 有序选取 , 对应的是 集合的排列 , 使用集合排列公式 ;

N = P(n,r) = P(9, 9) = cfrac{9!}{(9-9)!} = 9!

★ 排列数与组合数回顾 :

  • 排列数 :
n

元集

S

, 从

S

集合中 有序 , 不重复 选取

r

个元素 ,

P(n,r) = dfrac{n!}{(n-r)!}
  • 组合数 :
n

元集

S

, 从

S

集合中 无序 , 不重复 选取

r

个元素 ,

C(n,r) = dfrac{P(n,r)}{r!} dfrac{n!}{(n-r)!r!}

参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )

2. 白皮书放在一起的排列方式 :

分步处理 : 需要进行分步处理 , 先将白皮书排列好 , 然后将 所有白皮书 当做一个元素 , 与红皮书进行排序 ;

( 1 ) 第

1

步 :

5

本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

N = P(n,r) = P(5, 5) = cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!

( 2 ) 第

2

步 :

4

本红皮书 , 与一组白皮书 进行排序 , 有

5

个元素 , 将其进行全排列 ;

N = P(n,r) = P(5, 5) = cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!

( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述两个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;

N = 5! 5!

3. 白皮书放在一起 , 红皮书放在一起 的排列方式 :

分步处理 : 需要进行分步处理 ,

  • 先将白皮书排列好 ;
  • 再将红皮书排列好 ;
  • 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;

( 1 ) 第

1

步 :

5

本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

N = P(n,r) = P(5, 5) = cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!

( 2 ) 第

2

步 :

4

本红皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

N = P(n,r) = P(4, 4) = cfrac{4!}{(4-4)!} = 4!

( 3 ) 第

3

步 : 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;

N = P(n,r) = P(2, 2) = cfrac{2!}{(2-2)!} = 2!

( 4 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述

3

个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;

N = 5! 4! 2!

4. 白皮书和红皮书相间排列 的排列方式 :

分步处理 : 需要进行分步处理 ,

  • 先将白皮书排列好 ;
  • 再将红皮书插空放入 ;

( 1 ) 第

1

步 :

5

本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

N = P(n,r) = P(5, 5) = cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!

( 2 ) 第

2

步 :

5

本白皮书排列形成了

4

个空位 , 将红皮书插空放入

4

个位置 , 即集合全排列 ;

N = P(n,r) = P(4, 4) = cfrac{4!}{(4-4)!} = 4!

( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述

2

个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;

N = 5! 4!
博客 集合 模型 排序 数学

0 人点赞