2023-03-28 18:27:02
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文章目录
- 一、多项式定理
- 二、多项式定理 证明
- 三、多项式定理 推论 1
- 四、多项式定理 推论 2
一、多项式定理
多项式定理 :
设
n 为正整数 ,
x_i 为实数 ,
i=1,2,cdots,t (x_1 x_2 cdots x_t)^n= sumlimits_{满足 n_1 n_2 cdots n_t = n 非负整数解个数}dbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}cdots x_t^{n_t}上述多项式有
t 个项 , 这
t 项相加的
n 次方 ;
二、多项式定理 证明
多项式中
(x_1 x_2 cdots x_t)^n :
分步进行如下处理 :
1 步 : 从
n 个因式中 , 选
n_1 个因式 , 每个因式贡献
1 个
x_1 , 总共贡献
n_1 个
x_1 , 选取方法有
dbinom{n}{n_1} 种 ;
2 步 : 从
n-n_1 个因式中 , 选
n_2 个因式 , 每个因式贡献
1 个
x_2 , 总共贡献
n_2 个
x_2 , 选取方法有
dbinom{n-n_1}{n_2} 种 ;
vdotst 步 : 从
n-n_1-n_2 - cdots -n_{t-1} 个因式中, 选
n_t 个因式 , 每个因式贡献
1 个
x_t , 总共贡献
n_t 个
x_t , 选取方法有
dbinom{n-n_1-n_2 - cdots -n_{t-1}}{n_t} 种 ;
根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :
dbinom{n}{n_1} dbinom{n-n_1}{n_2} dbinom{n-n_1-n_2 - cdots -n_{t-1}}{n_t}展开后 , 很多都可以约掉 , 最终得到 :
=cfrac{n!}{n_1! n_2! cdots n_t!}注意上面的式子是多重集的全排列数
=dbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t}三、多项式定理 推论 1
多项式定理 推论 1 :
上述多项式定理中 , 不同的项数 是方程
n_1 n_2 cdots n_t = n非负整数解个数
C(n t -1 , n)证明过程 :
1 . 每一项之前的系数
dbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} 含义 :
n_1 代表
x_1 的指数 ,
n_1 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了
x_1n_2 代表
x_2 的指数 ,
n_2 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了
x_2vdotsn_t 代表
x_t 的指数 ,
n_t 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了
x_t2 . 一一对应关系 :
n_1, n_2, cdots , n_t 的一组不同的选择 , 相当于
n_1 n_2 cdots n_t = n的一个解 , 对应了不同的
x_1 , x_2, cdots, x_n 之前的项 ;
三个对应关系 :
不同的解 ,
n_1, n_2, cdots , n_t 配置不一样 , 这些项 不同的配置个数 ,
相当于
n_1 n_2 cdots n_t = n 的非负整数解个数 ,
又等同于 多项式 展开后的 项的个数 ;
因此求出
n_1 n_2 cdots n_t = n 的非负整数解个数 ,
就对应了
n_1, n_2, cdots , n_t 不同配置的个数 ,
对应了 多项式展开后项的个数 ,
结果是
C(n t -1 , n)该数还是多重集的组合数
推导过程 参考多重集组合问题 :
多重集 :
S = { n_1 cdot a_1 , n_2 cdot a_2 , cdots , n_k cdot a_k } , 0 leq n_i leq infty 取
r 种元素的组合 ,
r leq n_i , 推导过程如下 :
在
k 种元素中 , 取
r 种元素 , 每种元素取
0 sim r 个不等的元素 ,
使用
k-1 个分割线分割
k 种元素的位置 ,
k - 1 个分割线相当于组成了
k 个盒子 , 在每个盒子中放
0 sim r 个不等的元素 ,
放置的总元素的个数是
r 个 , 分割线个数是
k-1 个 , 这里就产生了一个组合问题 , 在
k-1 个分割线 和
r 个元素之间 , 选取
r 个元素 , 就是 多重集的
r leq n_i 情况下的 组合个数 ;
结果是 :
N= C(k r - 1, r) 参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
四、多项式定理 推论 2
多项式定理 推论 3 :
sumdbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} = t^n证明过程 :
多项式定理中
(x_1 x_2 cdots x_t)^n= sumlimits_{满足 n_1 n_2 cdots n_t = n 非负整数解个数}dbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}cdots x_t^{n_t}如果将
x_1 = x_2 = cdots = x_t = 1 ,
就可以得到
(1 1 cdots 1)^n= sumlimits_{满足 n_1 n_2 cdots n_t = n 非负整数解个数}dbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t}1^{n_1}1^{n_2}cdots 1^{n_t}= sumlimits_{满足 n_1 n_2 cdots n_t = n 非负整数解个数}dbinom{n}{n_1 n_2 cdots n_t}
