【组合数学】递推方程 ( 有重根递推方程求解问题 | 问题提出 )

2023-03-28 18:30:04 浏览数 (1)

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  • 一、有重根递推方程求解问题
  • 二、有重根递推方程示例

一、有重根递推方程求解问题

有些 递推方程 的 特征方程 的 特征根 有 重根 的情况 , 特征方程解出来的 特征根有一部分是相等的 , 这样就使得 通解中的常数无法获取唯一的值 ;

参考 : 【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理

在 “无重根下递推方程通解结构定理” 章节中 , 通解要求 方程组中的 系数行列式不等于

0

,

prodlimits_{1 leq i < j leq k} ( q_i - q_k ) not= 0

, 如果有两个特征根

q_i , q_k

相等 , 则上面的 "系数行列式不等于

0

" 便无法实现 ;

如果特征方程有重根 , 就不能使用 “无重根下递推方程公式求法” 进行递推方程的求解 ;

针对有重根的递推方程 , 需要将其 线性无关的元素 都找到 , 线性组合在一起 , 才能得到通解 ;

线性组合 : 将一个解乘以

c_1

, 另一个解乘以

c_2

, 相加之后的组合 ;

二、有重根递推方程示例

递推方程 :

H(n) - 4H(n-1) 4H(n-2) = 0

初值 :

H(0) = 0 , H(1) = 1

无重根下递推方程求解完整过程 :

  • 1 . 写出特征方程 :
    • ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
    0

    ;

    • ( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
    • ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
    -1

    , 最低次幂

    0

    ;

    • ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
    • ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
  • 2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x = cfrac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • 3 . 构造递推方程的通解 : 构造
c_1q_1^n c_2q_2^n cdots c_kq_k^n

形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

  • 4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k

个

k

元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

  • ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ; 递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数

根据上述求解过程进行求解 :

1 . 特征方程 :

( 1 ) 递推方程标准形式 : 递推方程已经是标准形式 ;

( 2 ) 特征方程项数 : 与 递推方程项数 相同 ,

3

项 ;

( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数减一 ,

3-1=2

, 最低次幂

0

;

( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 :

x^2 x 1 = 0

( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;

1x^2 (-4)x (4)1 = 0
x^2 - 4x 4 = 0

2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,

x = cfrac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=cfrac{4 pm sqrt{16 - 16}}{2} = 2

两个特征根都是

2

,

q_1=2, q_2 = 2

;

3 . 构造递推方程的通解 : 构造

c_1q_1^n c_2q_2^n cdots c_kq_k^n

形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

通解是 :

H(n) = c_12^n c_22^n = c2^n

4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到

k

个

k

元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

将

c2^n

代入到

x^2 - 4x 4 = 0

特征方程中 ,

c

是无解的 ;

如果 两个特征根 都是

2

, 线性相关 , 此时就 无法确定通解中的

c_1, c_2

待定常数 ;

观察

n2^n

是解 , 该解与

2^n

线性无关 , 将上述两个解进行线性组合 ,

c_1n2^n c_22^n

线性组合 , 是递推方程的解 ,

将初值代入 , 可以解出

c_1, c_2

常数的值 ;

数学

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