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一、递推方程标准型及通解
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n) ,
ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0 , 而是一个基于
n 的 函数
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
则上述递推方程的通解如下 :
overline{H(n)} 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程”
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = 0 的通解 ,
H^*(n) 是一个特解 ,
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H(n) = overline{H(n)} H^*(n)“常系数线性非齐次递推方程” 是 “常系数线性齐次递推方程” 的 齐次通解 , 加上一个 特解 ;
常系数线性非齐次递推方程 :
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n)
常系数线性齐次递推方程 :
, H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = 0H^*(n) 特解 , 是一个能使得方程左右相等的特定函数 ,
将
H(n) = overline{H(n)} H^*(n) 通解 代入到
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n) 的左部 ,
将带 上划线 的
overline{H(n)} 项合并 , 一定为
0 ,
将带
* 星号 的
H^*(n) 项合并 , 一定为
f(n) ,
0 f(n) 最终结果还是
f(n) , 与右侧的
f(n) 相等 ;
递推方程的任何一个解 , 都是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;
二、递推方程通解证明
证明 : 递推方程的通解 , 一定 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;
递推方程 :
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n) ,
ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0假设
h(n) 是递推方程的通解 , 证明该
h(n) 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 之和 ;
将
h(n) 代入上述递推方程中 ,
①
h(n) - a_1h(n-1) - cdots - a_kh(n-k) = f(n)特解
H^*(n) 也是递推方程的解 , 将
H^*(n) 代入递推方程 , 左右也是相等的 ,
②
H^*(n) - a_1H^*(n-1) - cdots - a_kH^*(n-k) = f(n)将上述 ① ② 两个等式的 左部与左部相减 , 右部与右部相减 ,
( h(n) - a_1h(n-1) - cdots - a_kh(n-k) )-( H^*(n) - a_1H^*(n-1) - cdots - a_kH^*(n-k) )=0合并上式中的项 :
[ h(n) - H^*(n) ] - a_1[ h(n-1) - H^*(n-1) ] - cdots - a_k[ h(n-k) - H^*(n-k) ] = 0上述方程是齐次方程 ,
h(n) - H^*(n) 是齐次方程的通解 ,
那么
h(n) 就是 齐次方程通解 与 特解
H^*(n) 相加 ;
因此
H(n) = overline{H(n)} H^*(n) 格式一定是通解 ;
