【组合数学】递推方程 ( 特解形式 | 特解求法 | 特解示例 )

2023-03-28 18:31:19 浏览数 (1)

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  • 一、特解形式与求法
  • 二、特解形式与求法 示例

一、特解形式与求法

H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n)

,

ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是

0

, 而是一个基于

n

的 函数

f(n)

, 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

overline{H(n)}

是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程”

H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = 0

的通解 ,

H^*(n)

是一个特解 ,

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是

H(n) = overline{H(n)} H^*(n)

在 【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 ) 博客中介绍了 “常系数线性齐次递推方程” 的通解求法 ;

本博客中开始介绍 特解

H^*(n)

的求法 ;

特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部

f(n)

有关 ,

f(n)

为

n

的

t

次多项式 ,

特解

H^*(n)

也是

n

的

t

次多项式 ;

1 . 特解形式 :

( 1 ) 特解形式 : 特解

H^*(n)

是

n

的

t

次多项式 ,

n

的幂取值从

0

到

t

, 因此其 项数有

t 1

项 ;

( 2 ) 特解每项组成 :

  • ① 项数 :
t 1

项

  • ② 组成 : 特解项由 常数 乘以
n

的次幂 组成 , 常数是未知的 ;

  • ③ 常数 :
t 1

个常数 , 使用下标标识好 ;

  • ④
n

的幂 : 幂取值从

0

到

t

;

( 3 ) 举例 : 特解

H^*(n)

是

n

的

2

次多项式 ;

特解项数 : 则 特解项数 是

2 1 = 3

项 ;

特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以

n

的次幂 组成 ,

3

个常数 设为

P_1, P_2, P_3

,

3

个

n

的次幂 , 幂取值 从

0

到

2

,

因此特解的形式为

H^*(n) = P_1n^2 P_2n^1 P_3n^0

,

化简后为 :

H^*(n) = P_1n^2 P_2n P_3

2 . 特解求法 :

( 1 ) 先写出特解的形式 : 特解

H^*(n)

也是

n

的

t

次多项式 ; 如 :

f(n)

为

n

的

2

次多项式 , 则特解为

H^*(n) = P_1n^2 P_2n P_3

( 2 ) 特解代入递推方程 : 然后将特解代入递推方程 , 将特解中的系数确定下来 ;

二、特解形式与求法 示例

递推方程 :

a_n 5a_{n-1} 6a_{n-2}=3n^2

;

1 . 特解形式 :

上述递推方程左侧是 “常系数线性齐次递推方程” 形式 , 不用管 ,

右侧的

3n^2

与特解相关 ,

3n^2

为

n

的

2

次多项式 ,

因此特解

H^*(n)

也是

n

的

2

次多项式 ;

2 . 写出特解形式 :

特解项数 : 则 特解项数 是

2 1 = 3

项 ;

特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以

n

的次幂 组成 ,

3

个常数 设为

P_1, P_2, P_3

,

3

个

n

的次幂 , 幂取值 从

0

到

2

,

因此特解的形式为

H^*(n) = P_1n^2 P_2n^1 P_3n^0

,

化简后为 :

H^*(n) = P_1n^2 P_2n P_3

3 . 将特解代入递推方程 :

将特解

H^*(n) = P_1n^2 P_2n P_3

,

代入到递推方程

a_n 5a_{n-1} 6a_{n-2}=3n^2

中 ,

得到 :

(P_1n^2 P_2n P_3) 5(P_1(n-1)^2 P_2(n-1) P_3) 6(P_1(n-2)^2 P_2(n-2) P_3)=3n^2

4 . 分析

n

的幂写出方程组 :

左右两侧是相等的 , 这里 根据

n

的次幂前的系数 , 写出方程组 ;

分析

n

的次幂的系数 :

  • ​
n^2

系数分析 : 右侧是

3n^2

, 因此

n^2

前的系数是

3

; 将左侧展开 ,

n^2

前的系数相加 , 最终等于

3

;

12P_1n^2 = 3n^2
  • ​
n^1

系数分析 : 右侧没有

n^1

, 即没有

n

项 , 因此左侧的

n

项之前的系数为

0

; 将左侧展开 ,

n

前的系数相加 , 最终等于

0

;

-34P_1n 12P_2n = 0n
  • ​
n^0

系数分析 : 右侧没有

n^0

, 即没有

1

项 ( 纯数字项 ) , 因此左侧的数字项为

0

; 将左侧展开 , 数字项最终等于

0

;

29P_1 - 17P_2 12 P_3 = 0

最终得到方程组 :

begin{cases} 12P_1 = 3 \\ -34P_1 12P_2 = 0 \\ 29P_1 - 17P_2 12 P_3 = 0 end{cases}

解上述方程组 , 得到结果 :

begin{cases} P_1 = cfrac{1}{4} \\ P_2 = cfrac{7}{24} \\ P_3 = cfrac{115}{288} end{cases}

特解是 :

H^*(n) = cfrac{1}{4} n^2 cfrac{7}{24}n cfrac{115}{288}

最终通解是 :

H(n) = c_1(-2)^n c_2(-3)^n cfrac{1}{4} n^2 cfrac{7}{24}n cfrac{115}{288}
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