文章目录
- 一、非齐次部分是指数的情况
- 二、非齐次部分是指数的情况 示例
一、非齐次部分是指数的情况
常系数线性非齐次递推方程 :
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n) ,
ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0 , 而是一个基于
n 的 函数
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是指数的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分
f(n) 是指数函数 ,
beta^n ,
如果
beta 不是特征根 ,
则非齐次部分的特解形式为 :
H^*(n) = Pbeta^n ,
P 是常数 ;
将上述特解
H^*(n) = Pbeta^n , 代入递推方程 , 求解出常数
P 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H(n) = overline{H(n)} H^*(n)使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
二、非齐次部分是指数的情况 示例
递推方程 :
a_n = 6a_{n-1} 8^{n-1}初值 :
a_1=7第一步 , 先求出该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,
递推方程的标准形式是 :
a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}非齐次部分是
8^{n-1} ,
因此其 特解 的形式是
a^*n = P 8^{n-1} , 其中
P 是常数 ;
将特解代入上述递推方程 :
P 8^{n-1} - 6P 8^{n-2} = 8^{n-1}在
6P 8^{n-2} 项乘以
8 变成
6P8^{n-1} , 再除以
8 变成
cfrac{6P8^{n-1}}{8}=cfrac{3P8^{n-1}}{4} , 代入等式中 ,
P 8^{n-1} - cfrac{3P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}cfrac{P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}cfrac{P}{4} = 1P = 4特解中的常数项
P=4 , 最终特解为
a^*n = 4times 8^{n-1}第二步 , 求出齐次部分的通解
递推方程的标准形式是 :
a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1} ,
齐次部分是
a_n - 6a_{n-1} = 0写出特征方程 :
x - 6 = 0 ,
特征根
q= 6写出齐次部分通解形式 :
overline{a_n} = c times 6^n“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
a_n = overline{a_n} a^*n递推方程通解是 :
a_n = c times 6^n 4times 8^{n-1}第三步 , 代入初值, 求出最终通解
代入初值
a_1 = 7 到上述通解中得到
c times 6^1 4 times 8^{1-1} = 76c 4 = 7c=cfrac{1}{2}a_n = c times 6^n 4times 8^{n-1} 通解中的常数常数
c=cfrac{1}{2} , 将常数代入 ,
通解为
a_n = cfrac{1}{2} times 6^n 4times 8^{n-1}
