2023-03-28 18:31:58
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- 一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况
- 二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例
一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况
常系数线性非齐次递推方程 :
H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n) ,
ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0 , 而是一个基于
n 的 函数
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分
f(n) 是指数函数 ,
beta^n ,
如果
beta 是
e 重特征根 ,
非齐次部分的特解形式为 :
H^*(n) = P n^e beta^n ,
P 是常数 ;
将上述特解
H^*(n) = P n^e beta^n , 代入递推方程 , 求解出常数
P 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H(n) = overline{H(n)} H^*(n)使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例
递推方程 :
H(n) - 5H(n-1) 6H(n-2)=2^n , 求特解 ?
查看其特征根 :
递推方程的标准形式是 :
H(n) - 5H(n-1) 6H(n-2)=2^n ,
齐次部分是
H(n) - 5H(n-1) 6H(n-2)=0写出特征方程 :
x^2 - 5x 6 = 0 ,
特征根
q_1= 2, q_2 = 3求该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,
递推方程的标准形式是 :
H(n) - 5H(n-1) 6H(n-2)=2^n非齐次部分是
2^n , 是指数函数 , 但是其底是
1 重特征根 ,
此时要使用底是
e 重特征根的特解形式来构造特解
H^*(n) = P n^e beta^n特解的形式是
H^*(n) = P n^1 2^n = Pn2^n , 其中
P 是常数 ;
将特解代入上述递推方程 :
Pn2^n - 5P(n-1)2^{n-1} 6P(n-2)2^{n-2} = 2^n所有项都构造
2^nPn2^n - cfrac{5P(n-1)2^{n}}{2} cfrac{6P(n-2)2^n}{4} = 2^n左右两侧都除以
2^nPn - cfrac{5P(n-1)}{2} cfrac{3P(n-2)}{2} = 1Pn - cfrac{5Pn}{2} cfrac{5P}{2} cfrac{3Pn}{2} -3P = 1cfrac{5P}{2} -3P = 1-cfrac{P}{2} = 1P=-2特解的形式
H^*(n) = Pn2^n , 其中
P 常数值为
-2 ;
特解为
H^*(n) = -2n2^n
