【组合数学】递推方程 ( 递推方程求解过程总结 | 齐次 | 重根 | 非齐次 | 特征根为 1 | 指数形式 | 底为特征根的指数形式 ) ★★

2023-03-28 18:32:24 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、常系数线性齐次递推方程求解过程
  • 二、常系数线性齐次递推方程求解过程 ( 有重根下的通解形式 )
  • 三、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 (
n

的

t

次多项式 | 特征根不为

1

)

  • 四、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 (
n

的

t

次多项式 | 特征根为

1

)

  • 五、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底不为特征根 )
  • 六、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底是特征根 )

递推方程求解 :

一、常系数线性齐次递推方程求解过程

常系数线性齐次递推方程求解过程 :

1 . 特征方程 :

( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是

0

;

( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;

( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数

-1

, 最低次幂

0

;

( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;

( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;

2 . 解特征根 : 将 特征方程的 特征根 解出来 ,

x = cfrac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

3 . 构造递推方程的通解 :

( 1 ) 无重根 : 构造

c_1q_1^n c_2q_2^n cdots c_kq_k^n

形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的 通解 ;

( 2 ) 有重根 : 参考下面的 “有重根下的通解形式列出” 内容 ;

4 . 求通解中的常数 :

( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到

k

个

k

元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ;

( 2 ) 代入常数获得通解 : 将常数代入通解 , 就可以得到最终的递推方程的解 ;

递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数

二、常系数线性齐次递推方程求解过程 ( 有重根下的通解形式 )

1 . 特征根数 :

q_1, q_2, cdots , q_t

是递推方程特征根 , 不相等的特征根数

t

;

2 . 根据 特征根 写出通解中的项

H_i(n)

: 特征根

q_i

, 重复度

e_i

, 其中

i

的取值是

0

到

t

; 第

i

个特征根对应的通解项 , 记作

H_i(n)

;

( 1 ) 组成 : 系数项 乘以

q_i^n

;

( 2 ) 系数项 :

① 个数 : 有

e_i

项 ; 系数项的个数 , 就是该特征根的重复度 ;

② 形式 : 常数 乘以

n

的次幂 ; 如 :

n^{e_i-1}

, 这里有

e_i

个常数 ;

③ 常数 : 常数下标是从

c_{i1}

到

c_{ie_i}

, 下标的右侧部分是

1

到

e_i

;

④

n

的次幂 : 幂的取值是从

0

到

e_i - 1

;

⑤ 建议排列方式 : 常数 和 次幂 , 最好都从小到大排列 , 常数下标 与

n

的幂 相差

1

;

( 3 ) 通解第

i

项 :

H_i(n) = (c_{i1} c_{i2}n cdots c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n

3 . 写出通解 :

( 1 ) 通解项数 : 特征根数

t

;

( 2 ) 通解组成 : 每个特征根对应的通解项 , 加到一起 , 就是完整的通解 ;

( 3 ) 最终结果 :

H(n) = sumlimits_{i=1}^tH_i(n)

三、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 (

n

的

t

次多项式 | 特征根不为

1

)

1 . 特解形式 :

( 1 ) 特解形式 : 特解

H^*(n)

是

n

的

t

次多项式 ,

n

的幂取值从

0

到

t

, 因此其 项数有

t 1

项 ;

( 2 ) 特解每项组成 :

① 项数 :

t 1

项

② 组成 : 特解项由 常数 乘以

n

的次幂 组成 , 常数是未知的 ;

③ 常数 :

t 1

个常数 , 使用下标标识好 ;

④

n

的幂 : 幂取值从

0

到

t

;

2 . 举例 : 特解

H^*(n)

是

n

的

2

次多项式 ;

特解项数 : 则 特解项数 是

2 1 = 3

项 ;

特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以

n

的次幂 组成 ,

3

个常数 设为

P_1, P_2, P_3

,

3

个

n

的次幂 , 幂取值 从

0

到

2

,

因此特解的形式为

H^*(n) = P_1n^2 P_2n^1 P_3n^0

,

化简后为 :

H^*(n) = P_1n^2 P_2n P_3

四、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 (

n

的

t

次多项式 | 特征根为

1

)

常系数线性非齐次递推方程 :

H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n)

,

ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是

0

, 而是一个基于

n

的 函数

f(n)

, 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部

f(n)

有关 ,

f(n)

为

n

的

t

次多项式 ,

如果齐次部分 特征根 不为

1

, 则特解

H^*(n)

也 是

n

的

t

次多项式 ;

如果齐次部分 特征根 为

1

, 重复度为

e

, 则特解

H^*(n)

也 是

n

的

t e

次多项式 ;

提高的次幂是 特征根

1

的重复度 , 如果重复度为

2

, 则需要提高

2

次幂 ;

为了解决上述问题 , 这里需要将

n

的次幂提高

1

, 将特解形式中的一次方项 , 设置成平方项 , 其中常数项不设置 , 即使设置了也会抵消掉 , 无法求出常数项值 ;

五、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底不为特征根 )

常系数线性非齐次递推方程 :

H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n)

,

ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是

0

, 而是一个基于

n

的 函数

f(n)

, 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

非齐次部分是指数的情况 :

如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分

f(n)

是指数函数 ,

beta^n

,

如果

beta

不是特征根 ,

则非齐次部分的特解形式为 :

H^*(n) = Pbeta^n

,

P

是常数 ;

将上述特解

H^*(n) = Pbeta^n

, 代入递推方程 , 求解出常数

P

的值 , 进而得到了完整的特解 ;

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是

H(n) = overline{H(n)} H^*(n)

使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;

六、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底是特征根 )

常系数线性非齐次递推方程 :

H(n) - a_1H(n-1) - cdots - a_kH(n-k) = f(n)

,

ngeq k , a_knot= 0, f(n) not= 0

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是

0

, 而是一个基于

n

的 函数

f(n)

, 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :

如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分

f(n)

是指数函数 ,

beta^n

,

如果

beta

是

e

重特征根 ,

非齐次部分的特解形式为 :

H^*(n) = P n^e beta^n

,

P

是常数 ;

将上述特解

H^*(n) = P n^e beta^n

, 代入递推方程 , 求解出常数

P

的值 , 进而得到了完整的特解 ;

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是

H(n) = overline{H(n)} H^*(n)

使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;

函数 数学

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