【数理逻辑】谓词逻辑的等值演算与推理演算 ( 个体词 | 谓词 | 量词 | 谓词逻辑公式 | 两个基本公式 | 命题符号化技巧 | 命题符号化示例 ) ★★

2023-03-28 18:36:02 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、 谓词逻辑相关概念
    • 1、 个体词
    • 2、 谓词
    • 3、 量词
  • 二、 一阶谓词逻辑公式
  • 三、 两个基本公式
    • 1、 公式一
    • 2、 公式二
  • 四、 命题符号化技巧
    • 1、 命题符号化方法
    • 2、 谓词逻辑组合
    • 3、 当且仅当谓词逻辑
  • 五、 命题符号化示例

参考博客 :

  • 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )
  • 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )
  • 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 判断一阶谓词逻辑公式真假 | 解释 | 示例 | 谓词逻辑公式类型 | 永真式 | 永假式 | 可满足式 | 等值式 )
  • 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 谓词逻辑基本等值式 | 消除量词等值式 | 量词否定等值式 | 量词辖域收缩扩张等值式 | 量词分配等值式 )
  • 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 前束范式 | 前束范式转换方法 | 谓词逻辑基本等值式 | 换名规则 | 谓词逻辑推理定律 )

一、 谓词逻辑相关概念

1、 个体词

个体词 :

① 个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;

② 个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;

③ 个体 变元 : 使用

a,b,c

表示个体变元 ;

④ 个体 常元 : 使用

x, y, z

表示个体常元 ;

⑤ 个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;

⑥ 个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;

⑦ 全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;

命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;

2、 谓词

谓词 :

① 谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;

② 谓词表示 : 使用

F, G, H

表示谓词 常元 或 变元 ;

③ 个体性质谓词表示 :

F(x)

表示

x

具有 性质

F

, 如

F(x)

表示

x

是黑的 ;

④ 关系性质谓词表示示例 :

F(x, y)

表示

x, y

具有 关系 F , 如 :

F
G(x, y)

表示

x

大于

y

;

存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;

② 表示方式 : 使用符号

exist

表示 ;

③ 解读1 :

exist x

表示个体域中 存在着的

x

;

④ 解读2 :

exist x( F(x) )

表示 , 个体域中 存在

x

具有性质

F

;

3、 量词

全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;

② 表示方式 : 使用符号

forall

表示 ;

③ 解读1 :

forall x

表示个体域中 所有的

x

;

④ 解读2 :

forall x( F(x) )

表示 , 个体域中所有的

x

都具有性质

F

;

参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )

二、 一阶谓词逻辑公式

命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果

A

是命题公式 , 则

(lnot A)

也是命题公式 ;

③ 如果

A,B

是命题公式 , 则

(A land B) , (A lor B), (A to B), (A leftrightarrow B)

也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

如果

A

是公式 , 则

forall x A

和

exist x A

也是公式

一阶谓词逻辑公式相关概念 : 以

forall x A

,

exist x A

公式为例 ;

指导变元 :

forall , exist

量词后面的

x

称为 指导变元

辖域 :

A

称为 对应量词的辖域 ;

约束出现 : 在

forall x

,

exist x

辖域

A

中 ,

x

出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

自由出现 : 辖域

A

中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;

参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )

三、 两个基本公式

1、 公式一

个体域中 所有 有性质

F

的 个体 , 都 具有 性质

G

;

使用谓词逻辑如下表示 :

①

F(x)

:

x

具有性质

F

; ②

G(x)

:

x

具有性质

G

; ③ 命题符号化为 :

forall x ( F(x) rightarrow G(x) )

2、 公式二

个体域 中 存在有性质

F

同时有性质

G

的个体 ;

使用谓词逻辑如下表示 :

①

F(x)

:

x

具有性质

F

; ②

G(x)

:

x

具有性质

G

; ③ 命题符号化为 :

exist x ( F(x) land G(x) )

四、 命题符号化技巧

1、 命题符号化方法

命题符号化方法 :

① 写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明

forall x

, 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;

② 写出性质个关系谓词 : 使用

F , G , H

表明 个体的 性质 或 关系 ;

③ 命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;

2、 谓词逻辑组合

由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑

F(x)

或

G(x, y)

部件 再次进行组合 ;

如下 谓词逻辑 :

forall x (F(x) rightarrow forall y ( G(y) rightarrow H(x,y) ))

其中

forall y ( G(y) rightarrow H(x,y) )

是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件

A

, 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

forall x (F(x) rightarrow A)

因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

forall x (F(x) rightarrow forall y ( G(y) rightarrow H(x,y) ))

3、 当且仅当谓词逻辑

当且仅当 谓词逻辑 符号化 :

( 1 ) 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;

( 2 ) 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是

① 对于所有的

x

与 存在的一个

y

有 某种性质或关系 , ② 对于所有的

x

和 所有的

z

存在某种性质或关系 ; ③

y

与

z

具有相等的属性 ;

( 3 ) 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是

① 对于所有的

x

与 存在的一个

y

有 某种性质或关系 , ②

y

与 所有的

z

有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 , ③ 可以推出

x

和

z

有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

五、 命题符号化示例

参考 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 命题符号化 习题

变量 博客 基础 集合 技巧

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