【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质

文章目录

一、生成函数换元性质
二、生成函数求导性质
三、生成函数积分性质

参考博客 :

【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )

一、生成函数换元性质

生成函数求和性质 1 :

b_n = alpha^n a_n

, 则

B(x) =A( alpha x)

数列

a_n

的生成函数是

A(x)

, 数列

b_n

的生成函数是

B(x)

数列

a_n = { a_0 , a_1, a_2 , cdots }

, 数列

b_n = { alpha^0a_0 , alpha^1a_1, alpha^2a_2 , cdots }

;

数列

a_n

的生成函数

A(x) = a_0x^0 a_1x a_2x^2 cdots

数列

b_n

的生成函数

B(x) = alpha^0a_0x^0 alpha^1a_1x^1 alpha^2a_2x^2 cdots

证明方法 :

在

b_n

的生成函数

B(x)

中 , 将

alpha^0x^0

看作一项 , 将

alpha^1x^1

看作一项 , 将

alpha^2x^2

看作一项 ,

观察上述项可以看出 ,

alpha

与

的幂值是相同的 ,

因此可以将

alpha x

看作一个变量 ,

这样通过换元可以得到

B(x) =A( alpha x)

公式 ;

二、生成函数求导性质

生成函数求导性质 :

b_n = n a_n

, 则

B(x) =xA'( x)

数列

a_n

的生成函数是

A(x)

, 数列

b_n

的生成函数是

B(x)

数列

a_n = { a_0 , a_1, a_2 , cdots , a_n , cdots }

, 数列

b_n = { 0a_0 , a_1, 2a_2 , cdots, na_n ,cdots }

;

数列

a_n

的生成函数

A(x) = a_0x^0 a_1x a_2x^2 cdots a_nx^n cdots

数列

b_n

的生成函数

B(x) = 0a_0x^0 1a_1x^1 2a_2x^2 cdots na_nx^n cdots

证明上述性质 :

将数列

a_n

的生成函数

A(x)

求导 , 再乘以

, 即可得到

B(x)

;

A(x) = a_0x^0 a_1x a_2x^2 cdots a_nx^n cdots

使用导数公式 :

(x^n)' = nx^{n-1}

参考 : 求导-百度百科

A'(x) = 0 a_1 2a_2x cdots na_nx^{n-1} cdots

xA'(x) = 0 a_1x 2a_2x^2 cdots na_nx^{n} cdots = B(x)

三、生成函数积分性质

b_n = cfrac{a_n}{n 1}

, 则

B(x) =cfrac{1}{x} int^{x}_{0} A( x)dx

上述性质很难记忆 , 由已知生成函数 , 可以推导出未知的生成函数 , 使用时推导即可 ;

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一、生成函数换元性质

二、生成函数求导性质

三、生成函数积分性质