【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 2 )

文章目录

一、指数生成函数求解多重集排列示例 2

参考博客 : 按照顺序看

【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 )

一、指数生成函数求解多重集排列示例 2

使用白色红色蓝色涂色

个格子 , 白色的涂色个数是偶数 , 求涂色方案个数

这是一个排列问题 , 当不同的方格涂色交换之后 , 就变成了不同的方案 ,

红色 , 蓝色涂色 , 没有限制 , 涂色个数可以是

0, 1,2,3,4,cdots

白色涂色 , 涂色个数是偶数个 , 涂色个数是

0, 2, 4, 6, 8 , cdots

红色 , 蓝色涂色个数

0, 1,2,3,4,cdots

序列 , 对应的生成函数项为 :

cfrac{x^0}{0!} cfrac{x^1}{1!} cfrac{x^2}{2!} cdots = 1 x cfrac{x^2}{2!} cdots

白色涂色个数

0, 2, 4, 6, 8 , cdots

序列 , 对应的生成函数项为 :

cfrac{x^0}{0!} cfrac{x^2}{2!} cfrac{x^4}{4!} cdots = 1 cfrac{x^2}{2!} cfrac{x^4}{4!} cdots

上述涂色方案个数的指数生成函数是 :

G_e(x) = (1 x cfrac{x^2}{2!} cdots) (1 x cfrac{x^2}{2!} cdots) (1 cfrac{x^2}{2!} cfrac{x^4}{4!} cdots)

其中

1 x cfrac{x^2}{2!} cdots

可以写成

e^x

形式 ;

其中

1 cfrac{x^2}{2!} cfrac{x^4}{4!} cdots

可以写成如下形式 :

1 cfrac{x^2}{2!} cfrac{x^4}{4!} cdots = cfrac{1}{2}(e^x e^{-x})

e^x e^{-x}

相加 , 奇次幂符号相反 , 直接约掉 , 偶数次幂变为原来的两倍, 因此在外面乘以

cfrac{1}{2}

;

将上述

e^x

和

cfrac{1}{2}(e^x e^{-x})

替换到指数生成函数中 ;

G_e(x) = (1 x cfrac{x^2}{2!} cdots) (1 x cfrac{x^2}{2!} cdots) (1 cfrac{x^2}{2!} cfrac{x^4}{4!} cdots)

, =cfrac{1}{2}(e^x e^{-x})(e^x )(e^x)

, =cfrac{1}{2}e^{3x} cfrac{1}{2}e^{x}

将

cfrac{1}{2}e^{x}

展开后为

cfrac{1}{2}(1 x cfrac{x^2}{2!} cdots)=cfrac{1}{2}sumlimits_{n=0}^infty cfrac{x^n}{n!}

将

cfrac{1}{2}e^{3x}

展开后为

cfrac{1}{2}(1 3x cfrac{(3x)^2}{2!} cdots)=cfrac{1}{2}sumlimits_{n=0}^infty cfrac{3^nx^n}{n!}

, =cfrac{1}{2}sumlimits_{n=0}^infty cfrac{3^nx^n}{n!} cfrac{1}{2}sumlimits_{n=0}^infty cfrac{x^n}{n!}

, =sumlimits_{n=0}^infty cfrac{3^n 1}{2} cdot cfrac{x^n}{n!}

cfrac{x^n}{n!}

前的系数是

cfrac{3^n 1}{2}

因此白色红色蓝色涂色

个格子 , 白色是偶数的情况下 , 涂色方案有

cfrac{3^n 1}{2}

种 ;

博客函数模型数学

0 人点赞