【计算理论】可判定性 ( 对角线方法 | 使用对角线方法证明 通用任务图灵机 语言 不可判定 )

2023-03-28 19:56:23 浏览数 (1)

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  • 一、存在性证明
  • 二、证明 通用任务图灵机
rm A_{TM}

语言 对应的计算模型一定是 不可判定 ( 对角线法 )

一、存在性证明

存在性证明 : 肯定存在一些语言 , 不能被图灵机接受 ;

使用 语言 可以表示 计算问题 , 计算问题的个数与 实数 一样多 , 是 不可数的 ;

图灵机 的个数 与 自然数 一样多 , 是 可数的 ;

计算问题 要比 计算模型 多很多 , 计算问题 与 图灵机 之间不是 一一对应的 ;

肯定存在一个计算问题 , 找不出与之对应的图灵机 , 因此该计算问题肯定是 不可计算的 ,

二、证明 通用任务图灵机

rm A_{TM}

语言 对应的计算模型一定是 不可判定 ( 对角线法 )

rm A_{TM}

语言简介 :

将计算问题进行形式化 ,

rm M

是图灵机 ,

rm w

是字符串 , 如果

rm M

图灵机 接受

rm w

是字符串 , 将所有的可接受的

rm w

是字符串放在一个集合中 , 组成的语言 称为

rm A_{TM}

语言 ;

rm A_{TM} = { <M , w> | 图灵机 M 接受 w 字符串 }
rm A_{TM}

语言 称为 图灵机可接受的 ;

rm A_{TM}

语言 是可计算的 , 但 不是可判定的 ;

该结论可以区分 可判定语言 与 可计算语言 ;

使用 对角线法 证明 ;

与博客 【计算理论】可判定性 ( 对角线方法 | 证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系 ) 中证明 自然数集 与 实数集 不能一一对应类似 ;

在 【计算理论】可判定性 ( 计算模型与语言 | 区分 可计算语言 与 可判定语言 | 证明 某语言是 可计算语言 | 通用任务图灵机 与 特殊任务图灵机 ) 博客中证明了 通用图灵机语言 是计算语言 , 本博客中证明 通用图灵机语言 不可判定 ;

使用反证法证明 :

图灵机的结果有

3

个状态 , 接受状态 , 拒绝状态 , Loop 不停机状态 ;

rm A_{TM}

语言只包含 接受状态 的情况 ;

所有的图灵机 与 自然数集 一样多 , 所有的图灵机 是可以枚举出来的 ,

rm M_1 , M_2 , M_3, cdots , M_n

图灵机 ;

枚举事务 , 一定有先决条件 , 如自然数集 , 无穷一定是可数的 , 不可数的无穷 , 如实数集 , 不能像上面图灵机一样枚举 , 实数是无法进行枚举的 ;

可以枚举的无穷 , 一定是可数无穷 ; 图灵机个数与自然数一样多 , 是可数无穷 , 因此可以枚举出来 ;

垂直表格中是枚举出来的图灵机 , 水平表格中是图灵机语言的编码 ;

表格中的内容 , 如第一行第一列 ,

rm M_1

与

<m_1>

交叉的项 , 表示 图灵机

rm M_1

在

<m_1>

编码上进行运算 , 其运算结果是 接受状态 ;

对角线意外的项都是有结果的 , 与本次证明无关, 省略了 , 接受或拒绝 ;

​

< m 1 > <m_1> <m1​>

< m 2 > <m_2> <m2​>

< m 3 > <m_3> <m3​>

⋯ cdots ⋯

< m n > <m_n> <mn​>

M 1 rm M_1 M1​

接受

​

​

​

​

M 2 rm M_2 M2​

​

拒绝

​

​

​

M 3 rm M_3 M3​

​

​

接受

​

​

⋮ rm vdots ⋮

​

​

​

​

​

M n rm M_n Mn​

​

​

​

​

拒绝

<m_1>
<m_2>
<m_3>
cdots
<m_n>
rm M_1

接受

rm M_2

拒绝

rm M_3

接受

rm vdots
rm M_n

拒绝

假设 : 存在一个 图灵机

rm H

,

A_{TM}

语言 是可判定的 ;

表格中的 图灵机

rm H

的结果是已知的 , 接受 或 拒绝 ;

构造 图灵机

rm D

, 根据图灵机语言编码

rm <m_n>

上的操作 :

图灵机

rm D

, 在

rm m_1

编码上的计算结果 , 主要查看第

1

行 , 第

1

列的 , 即 图灵机

rm M_1

在

<m_1>

编码上的结果 , 该计算结果是 接收 的 , 那么 图灵机

rm D

在

<m_1>

编码 上的结果就设定相反的结果 , 拒绝 ;

图灵机

rm D

, 在

rm m_2

编码上的计算结果 , 主要查看第

2

行 , 第

2

列的 , 即 图灵机

rm M_2

在

<m_2>

编码上的结果 , 该计算结果是 拒绝 的 , 那么 图灵机

rm D

在

<m_2>

编码上的结果就设定相反的结果 , 接收 ;

图灵机

rm D

, 在

rm m_3

编码上的计算结果 , 主要查看第

3

行 , 第

3

列的 , 即 图灵机

rm M_3

在

<m_3>

编码上的结果 , 如果该计算结果是 接受 的 , 那么 图灵机

rm D

在

<m_3>

编码上的结果就设定相反的结果 , 拒绝 ;

vdots

图灵机

rm D

, 在

rm m_n

编码上的计算结果 , 主要查看第

n

行 , 第

n

列的 , 即 图灵机

rm M_n

在

<m_n>

编码上的结果 , 如果该计算结果是 拒绝 的 , 那么 图灵机

rm D

在

<m_n>

编码上的结果就设定相反的结果 , 接收 ;

构造出的

rm D

一定是图灵机 , 上述描述的算法对应的计算模型就是图灵机 ;

一定存在一个

rm k

, 图灵机

rm D

就是 对应的 图灵机

rm M_k

, 在上述表格对角线位置的结果 , 即在

rm <m_k>

编码上的计算结果 , 与 图灵机

rm D

的结果是不同的 ;

这样就产生了矛盾 , 图灵机

rm D

的计算结果 是 图灵机

rm M_k

在

rm <m_k>

编码上计算结果相反的结果 ; 而这两个图灵机是同一个图灵机 ;

因此假设 "存在一个 图灵机

rm H

,

A_{TM}

语言 是可判定的 " 不成立 ,

通用任务图灵机

rm H

,

A_{TM}

语言 是 不可判定的

编码 表格 博客 模型 字符串

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