【算法】复杂度理论 ( 时间复杂度 )

2023-03-29 14:53:28 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、复杂度理论
  • 二、时间复杂度
  • ​
    • 1、P 与 NP 问题
    • 2、O 表示的复杂度情况
    • 3、时间复杂度取值规则
    • 4、时间复杂度对比

一、复杂度理论

时间复杂度 : 描述一个算法执行的大概效率 ; 面试重点考察 ; 面试时对时间复杂度都有指定的要求 , 蛮力算法一般都会挂掉 ;

空间复杂度 : 程序执行过程中 , 所耗费的额外空间 ; 面试考察较少 , 程序中使用的空间 , 看变量的定义就可以知道大概数量 ;

编程复杂度 : 代码可读性是否高 , 是否容易看懂 ; 写代码时的难度不高 , 别人读代码时的难度也不高 ; 如果写的时候经过长时间斟酌 , 那么可读性估计会很差 ;

如 : 字符串查找 ,

使用 蛮力算法 , 编程复杂度很低 , 很容易看懂 , 但是其时间复杂度是

O(m times n)

;

如果使用 Rabin-Karp 算法 , 时间复杂度是

O(m n)

, 但是编程复杂度很高 , 实现了哈希算法 , 很难看懂 ;

思维复杂度 : 是否容易想得出 ; 算法的原理是否容易理解 ;

算法是否容易理解 ;

字符串查找 KMP 的算法就很难理解 , 即使把代码展示出来 , 将原理说明 , 也是很难理解的 ;

一般 蛮力算法 时间复杂度 很高 , 但是 编程复杂度 和 思维复杂度 很低 , 代码容易理解 ;

如果对 时间复杂度 要求很高 , 如必须达到

O(n)

或

O(n^2)

要求 , 则必须使用复杂的算法 , 双指针 , 动态规划 , KMP 等 , 代码会写几百行 , 很难理解 ;

二者之间需要综合考虑 , 相互作出一些妥协 ;

二、时间复杂度

1、P 与 NP 问题

P 问题 ( Polynomial ) , 是有效算法的集合 , 都可以在多项式时间内完成计算 , 其 时间复杂度都是多项式 ,

时间复杂度都是

O(n)

,

O(n^2)

,

O(n^3)

,

O(m n)

,

O(1)

,

O(sqrt{n})

,

O(log n)

,

O(n log n)

等多项式 ;

n

一般都在底数的位置 , 不在幂次方的位置 ;

NP 问题 ( Nondeterministic Polynomial ) , 是没有找到一个算法可以在多项式时间内解决该问题 , 目前只找到了非多项式时间的解法 , 不确定该问题是否有多项式时间解法 ;

时间复杂度一般是

O(2^n)

,

O(n^n)

,

O(n!)

等 ;

2、O 表示的复杂度情况

O

表示算法在 最坏的情况下的时间复杂度 ;

一般情况下 , 算法的时间复杂度都以最坏情况的时间复杂度为准 ;

但是也有特例 , 快速排序的最坏情况下 , 时间复杂度是

O(n^2)

, 这个时间复杂度几乎不会遇到 , 一般情况下描述快速排序的时间复杂度时 , 使用 平均时间复杂度

O(n log n)

;

3、时间复杂度取值规则

只考虑最高次项 : 时间复杂度描述中 , 一般 只考虑最高次项 ;

如 :

O(n^2 n) = O(n^2)

,

O(2^n n^2) = O(2^n)

不考虑常数项 : 时间复杂度描述中 , 不考虑常数项 ;

如 :

O(n^2 2000) = O(n^2)

不考虑系数项 : 时间复杂度描述中 , 不考虑系数项 ;

如 :

O(2n^2) = O(n^2)

,

O(log n) = O(log(n^2)) = O (log _4 (n) )

,

O(log(n^2))

其中的

2

可以提取到前面 变为

O(2log(n))

,

O (log _4 (n) )

中的底数

4

提取出来变为

O (cfrac{1}{2}log (n) )

, 系数项不考虑 , 不管底数是多少 , 内部

n

是多少次幂 , 都可以提取成系数 , 系数项不考虑 ;

因此 , 对数的复杂度只有

O(log n)

, 没有其它的底数或

n

次幂的情况 , 这些都可以提取成系数 ;

但是系数为

n

除外 ;

4、时间复杂度对比

O(m n)

与

O(max(m, n))

哪个复杂度更高 ;

n m > max (m, n) > cfrac{m n}{2}
max (m, n)

是介于两个值之间的数值 ;

O(n m) = O(cfrac{m n}{2})

, 因此

O(n m) = O(cfrac{m n}{2}) = O(max (m, n))
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