【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 根据 “ 线性时不变系统 “ 定义证明 )

2023-03-30 11:49:04 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
  • ​
    • 1、根据 " 线性时不变系统 " 定义证明
    • ​
      • 假设一
      • 假设二
      • 假设三

参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

  • " 线性常系数差分方程 "
  • " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

线性常系数差分方程 :

y(n) - ay(n - 1) = x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y(0) = 1

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、根据 " 线性时不变系统 " 定义证明

证明一个系统是 " 线性时不变系统 " ( LTI 系统 ) , 需要证明 系统 满足 " 叠加性 " 和 " 不随着时间的变化而变化特性 " 特点 ;

假设一

假设一个 " 输入序列

x_1(n)

" :

x_1(n) = delta (n)

初始条件是 :

y_1(0) = 1

通过 " 递推解法 " 可以得到 :

y_1(n) = a^n u(n)

推导过程参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 ) 博客 ;

假设二

证明 " 线性时不变 " , 这里将 " 输入序列 " 移位 , 然后再查看 " 输出序列 " , 验证 " 时不变特性 " ;

假设一个 " 输入序列

x_2(n)

" :

x_2(n) = delta (n - 1)

初始条件是 :

y_2(0) = 1

通过 " 递推解法 " 可以得到 :

y_2(n) = a^n u(n) a^{n - 1} u(n - 1)

输入序列

x_2(n)

比

x_1(n)

延迟了 , 但是输出序列

y_1(n)

和

y_2(n)

是不同的 ;

比较

y_1(n)

和

y_2(n)

可知 , 时间改变了 , 发生了位移 , 对应的 " 输出序列 " 也改变了 , " 时不变 " 不成立 , 这是一个时变特性 ;

假设三

证明 " 线性时不变 " , 这里将之前假设的

2

个 " 输入序列 " 相加 , 然后再查看 " 输出序列 " , 验证 " 线性 " ;

假设一个 " 输入序列

x_3(n)

" :

x_3(n) = x_1(n) x_2(n) = delta (n) delta (n - 1)

初始条件是 :

y_3(0) = 1

通过 " 递推解法 " 可以得到 :

y_3(n) = a^n u(n) a^{n - 1} u(n - 1)

比较

y_1(n) y_2(n)

与

y_3(n)

, 二者不同 , " 线性 " 不成立 ;

该系统 , 既不是线性系统 , 又不是 时不变系统 ;

该系统是 非线性时变 系统 ;

博客 系统

0 人点赞