【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例二 | 修改边界条件 | 使用递推方法证明 )

2023-03-30 11:49:32 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
  • ​
    • 1、使用递推方法证明
    • 2、证明线性
    • 3、证明时不变
    • ​
      • 先变换后移位
      • 先移位后变换
      • 时变系统结论

参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

  • " 线性常系数差分方程 "
  • " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

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线性常系数差分方程 :

y(n) - ay(n - 1) = x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y(-1) = 0

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、使用递推方法证明

假设 系统的 " 输入序列 " 为 :

x(n)

使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :

y(n) = sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)

2、证明线性

假设

x(n) = bx_1(n) cx_2(n)

将 " 输入序列 "

x(n)

代入上述假设的

y(n) = sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)

式子中 ;

计算过程如下 :

y(n) = sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)
= sum^{n}_{i = 0}a^{n- i} [ bx_1(i) cx_2(i) ] u(n)
= by_1(n) cy_2(n)

上述系统是 " 线性系统 " ;

3、证明时不变

" 输入序列 " 移动

n_0

, 开始计算 " 输出序列 " , 查看 修改前后 的 " 输出序列 " 是否相同 ;

先变换后移位

原始 " 输出序列 " :

y(n) = sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)

移位后的 " 输出序列 " : 也就是 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

y(n - n_0) = sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n - n_0 - i}x(i)u(n - n_0)

先移位后变换

原始 " 输入序列 " :

x(n)

移位后的 " 输入序列 " :

x(n - n_0)

先 " 移位 " 后 " 变换 " :

T[(n - n_0)] = sum^{n}_{i = 0}a^{i - n_0}x(i)u(n)

进行变量替换 , 假设

i' = i n_0

, 使用

i = i' n_0

替换

i

,

= sum^{n - n_0}_{i = -n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n)
= sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n)
= sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)
= y(n - n_0)

时变系统结论

先变换后移位 的 计算结果 :

sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n - n_0 - i}x(i)u(n - n_0)

先移位后变换 的 计算结果 :

sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)

这两个结果相同 , 因此该系统是 时不变系统 ;

变量 博客 系统

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