【数字信号处理】相关函数 ( 卷积与交换性 | 相关函数不具有交换性 | 推导过程 )

2023-03-30 11:53:51 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、卷积与交换性
  • ​
    • 1、卷积概念
    • 2、卷积交换律
  • 二、相关函数交换性

一、卷积与交换性

1、卷积概念

对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设

x(n)

是 LTI 系统的 " 输入序列 " ,

y(n)

是 " 输出序列 " ,

则有 :

y(n) = sum^{ infty}_{m = -infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

参考 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 ) 博客 ;

2、卷积交换律

线性卷积 具有 交换性 ;

x(n) * h(n) = h(n) * x(n)

参考 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 周期性分析 | 卷积运算规律 | 交换律 | 结合律 | 分配率 | 冲击不变性 ) 博客 ;

二、相关函数交换性

x(n)

卷积

h(n)

的结果 等于

h(n)

卷积

x(n)

的结果 ;

但是 " 相关函数 " 不具有交换性 ;

x(n)

与

y(n m)

的相关函数

r_{xy}(m)

如下 :

r_{xy}(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} x^*(n) y(n m)

这里先给出结论 ,

x(n)

与

y(n m)

的相关函数

r_{xy}(m)

,

不等于

y(n)

与

x(n m)

的相关函数

r_{yx}(m)

,

相关函数 , 不具有 交换性 ;

x(n)

与

y(n m)

的相关函数

r_{xy}(m)

如下 :

r_{yx}(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} y^*(n) x(n m)

令

n m = n'

,

n

的取值范围是

- infty

~

infty

,

则

n'

取值范围也是

- infty

~

infty

,

使用

n = n' - m

替换

n

,

r_{yx}(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} y^*(n' - m) x(n' -m m)
= sum_{n=-infty}^{ infty} y^*(n' - m) x(n')
= sum_{n=-infty}^{ infty} y^*(n - m) x(n)
= sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) y^*(n - m)

根据 复数共轭 运算公式

(a b)^* = a^* b^*

,

将

sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) y^*(n - m)

的 共轭 取到 加和符号

sum

外面 ,

x(n)

需要加上共轭

x^*(n)

,

y^*(n - m)

也要加上一个共轭

y(n - m)

;

= r^*_{xy}(-m)

很明显 ,

该

y(n)

与

x(n m)

的相关函数

r_{yx}(m)

计算出来的结果 ,

与

x(n)

与

y(n m)

的相关函数

r_{xy}(m)

计算结果不同 ,

因此对于 相关函数 , 交换律 不成立 ;

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